ann, welches 
kónnen. Es 
; 3-5)" diese 
rechnung des 
en stehenden 
nicht gleich 
üt (e 2k 2). n 
len Faktoren 
den Faktor 
t. 
eines Quo- 
6) 
ent aus den 
[S 1st. 
" a” CH 
= pr dm 
2 
i, (3)? = 0 
hiernach um 
e grôsser der 
| (35) wieder- 
m ein Produkt 
n die Anzahl 
jeben werden 
ertauschen, 
potenziren. 
i aufeinander 
nmengesetzter 
Zxponent eine 
kann man das 
3. Potenzirung. 49 
Produkt in zwei Abtheilungen von bezüglich z; und z Faktoren trennen, also 
7 7” 
qutn on O0... AAA. 
setzen, sodass also 
am +“ — qm. an (38) 
erhalten wird. So ist beispielsweise 37= 32+5= 32. 35, ferner a*+J)+z =qa*+) . q® 
=a*- a’ -a%, und allgemein eine Potenz, deren Exponent eine Summe 
ist, gleich deni Produkt aus sämmtlichen Potenzen der Basis mit den 
einzelnen Summanden als Exponenten. 
Ist der Exponent dagegen eine Differenz ;2 — z, und setzt man die Basis « 
zunächst z2mal als Faktor, so hat die entstandene Potenz a7 jenen Faktor zmal 
mehr als verlangt war. Die züberzáhligen Faktoren können durch Division mit 
a^ wieder entfernt werden, und somit ist 
qu —nu-— M (3 93. 
So ist z. B. 05- EE. 
aaa a 
Ist also der Exponent einer Potenz eine Differenz, so kann man die 
Basis mit dem Minuend und mit dem Subtrahend einzeln potenziren 
und dann die erstere dieser beiden Potenzen durch die letztere divi- 
diren. Hierbei ist, da z;— eine positive Zahl sein muss, vorausgesetzt, dass 
der Minuend 7 grósser ist als der Subtrahend z. 
Ist ferner der Exponent ein Produkt zz, so ergiebt sich, indem man das 
letztere als eine Summe z -- ; 4- ..? oder z -- z 4-22 4- .." darstellt, aus (38), 
oder auch durch Umkehrung von (37) 
QUU (uy ys. (40) 
Ist also der Exponent ein Produkt, so kann man mit den Faktoren 
desselben nach einander, und zwarin beliebiger Reihenfolge poten- 
ziren. 
Der Fall endlich, in welchem der Exponent ein Quotient ist, kann nach der 
obigen Erklärung der Potenz nur dann eintreten, wenn der Dividendus ein Viel- 
faches des Divisors ist. Die Erledigung dieses Falles geschieht besser an einer 
späteren Stelle, wo auch die Frage zu erwägen sein wird, ob es möglich sei, die 
gedachte Beschränkung aufzuheben. Auch der noch zu erwähnende Fall, in 
welchem der Exponent wieder eine Potenz ist, führt hier zu keiner einfachen 
Entwicklung. 
$ 33. Fortsetzung. 
Zu der im Vorstehenden behandelten Aufgabe, die Gesetze des Potenzirens 
mit zusammengesetzten Zahlen zu entwickeln, tritt nun die fernere hinzu, die ver- 
schiedenen Rechnungsarten auf Potenzen anzuwenden, also zu fragen, wie man 
Potenzen addiren, subtrahiren, multipliciren, dividiren oder potenziren kann. 
Für die Addition und Subtraction beliebiger Potenzen lassen sich keine ein- 
fachen Gesetze entwickeln. Ausdrücke, wie a == )", kónnen also nicht durch 
gleichwerthige von anderer, einfacher Form ersetzt, und müssen bei bestimmten 
Zahlenbeispielen unverändert ausgerechnet werden. Dass man sich insbesondere 
zu hüten hat, etwa a" 3: 57 — (a -- f) zu setzen, folgt aus dem in 8 31 Gesagten. 
Auch ein Produkt beliebiger Potenzen gestattet keine einfache Umformung. Da- 
gegen ist eine solche möglich, wenn entweder die Basen oder die Exponenten 
einander gleich sind, und dasselbe gilt für Quotienten: von Potenzen. Man erhält 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik, Bd. I. 4