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Arithmetik und Algebra. 
derjenigen Zahl, deren Potenz mit dem Wurzel- 
Eine Wurzel ist also gleich 
Diese Erklärung kann 
exponenten als Exponenten dem Radicand gleich ist. 
durch folgende Formel dargestellt werden: 
ef =e 00 
Die zweite Wurzel aus einer Zahl heisst auch die Quadratwurzel, die 
dritte die Kubikwurzel aus derselben. Bei Quadratwurzeln pflegt man den 
Wurzelexponenten wegzulassen; ya hat also dieselbe Bedeutung wie a, 
So ist beispielsweise y9— 3, ys 2 
ER S r9. — Ob un 
Va aa, Vz-VoVz=1 u. $. W. 
Aus der Erklärung der Wurzeln folgt ohne Weiteres 
Ve =—c, (45) 
d. h. radicirt man eine Potenz mit ihrem Exponenten, so erhält man ihre Basis. 
denn 32 —9, 23— 8, u. dgl m. Ebenso ist 
8 36. Irrationale Zahlen. 
Wie bei der Subtraction und der Division, so entsteht auch bei der Radicirung 
die Frage, ob dieselbe auch dann immer ausführbar ist, wenn die Werthe des 
Radicanden und des Exponenten nicht durch Umkehrung einer wirklich ausge- 
führten Potenzirung entstanden sind, sondern wenn für dieselben willkürlich 
bestimmte Zahlen gesetzt werden. Zur Erleichterung dieser Untersuchung setzen 
wir zunüchst nur absolute Zahlen als vorkommend voraus. 
Man sieht zunächst leicht ein, dass nach der Erklärung der öten Wurzel aus 
2 nicht nur der Wurzelexponent 6 eine ganze Zahl sein muss, sondern dass auch 
der Radicand nicht beliebig angenommen werden kann. Beispielsweise sind 4, 
Lob 1$ 24 vollstándige zweite Potenzen und daher die 
16, 25, ... und ebenso +, e] 
Quadratwurzeln aus denselben móglich, dagegen ist 1/7 im bisherigen Sinne un- 
ahlformen keine Zahl finden lésst, 
móglich, da sich unter den bisher bekannten Z 
deren Produkt mit sich selbst gleich 7 ist. Zunächst ist nämlich einleuchtend, 
dass in der Reihe der Quadrate der ganzen Zahlen: 1, 4.9, 16... die Zahl 7 
nicht enthalten ist, und es bliebe somit nur die Möglichkeit, dass V7 durch 
: x : € 
eine gebrochene Zahl angegeben werden kónnte. Nimmt man nun an, dass = 
den kleinsten ganzen Zahlen ausgedrückt sei sodass also c 
2 ea E 
und 4 relative Primzahlen seien, so müsste em, also c? durch 4? theilbar 
dieser Bruch und in 
sein, was nach $ 17 unmóglich ist. 
A : : 5 ,y— 
Es ist nicht schwer, diese Schlussfolgerung zu verallgemeinern. Soll y a be- 
rechnet werden, und ist @ eine ganze Zahl, so gehört a entweder der Reihe der 
bten Potenzen aller ganzen Zahlen 1^ 95. 9, ... an, oder liegt zwischen zwei 
Gliedern dieser Reihe, kann also selbst keine ganze Zahl sein. Wäre in diesem 
di , C n: ; : ; ; 
Falle y a einer gebrochenen Zahl = gleich, so erhielte man mn derselben Weise wie 
vorher die unmôgliche Folgerung, dass c? durch 42 theilbar sein müsse, auch 
wenn 4 und c relative Primzahlen sind. 
à 
dass, wenn a eine gebrochene Zahl ist, Va immer 
ob — 
. s . y ul : 7 7 b 
in dem bisherigen Sinne moglich sei. Denn setzt man m s. e so ist m Eco. und sind 
7 7 de 
Ebensowenig kann behauptet werden, 
    
   
   
  
   
    
    
    
   
    
   
   
   
   
  
   
    
    
     
    
   
  
    
  
    
  
  
  
  
   
   
  
  
   
   
  
      
    
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