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4. Vom Radiciren. 
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— und 7 a den kleinsten Zahlen ausgedrückt, also auch c^ und 4^ relative Primzahlen, so 
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muss z2— có und z-— dé, also c— ym, d= Vr sein, womit dieser Fall auf den vorigen 
zurückgeführt ist. 
Die Form V 4 führt nun für den Fall, dass a keine vollstindige öte Potenz 
einer der bisher bekannten Zahlen ist, auf eine neue Erweiterung des Zahlen- 
begriffs, welche zunächst an einem Beispiel erläutert werden soll: 
Es sei die Aufgabe gestellt, y 2 zu berechnen, also eine Zahl zu ermitteln, 
die mit sich selbst multiplicirt, zum Produkt 2 gebe. Da nun 1? — 1 und 22 = 4 
ist, so nehme man zunächst an, die gesuchte Zahl liege zwischen 1 und 2. Be- 
rechnet man nun nach einander 1,12 -, 1,22, 1,3? u. s. w., so ergiebt sich 1,42? = 
1,96 und 1,52 = 2,25, und man kann hiernach annehmen, dass die gesuchte Zahl 
zwischen 1,4 und 1,5 liege. Geht man in dieser Weise weiter fort, berechnet 
also zunächst die Quadrate von 1,41, von 1,42 u. s. w., so findet man 1,412 
— 1,9881 und 1,492 — 9,0164, ebenso weiterhin 1,414? — 1,999396 und 1,415? 
— 9,002225, u. s. w. Man sieht nun bereits, dass man in dieser Weise die Reihe 
der gefundenen Zahlen 1; 1,4; 1,41; 1,414 immer weiter fortsetzen kann, 
so dass das Quadrat einer jeden folgenden Zahl dieser Reihe näher an die Zahl 
2 kommt, als das der vorhergehenden, und dass man also den Werth von 73 
durch einen Bruch — zwar niemals absolut genau, aber doch — bis zu jedem 
verlangten Grade der Annäherung darstellen kann. 
Derartige Zahlen nennt man irrationale, und im Gegensatz zu ihnen die 
im Früheren behandelten ganzen und gebrochenen Zahlen rationale. 
Eine irrationale Zahl ist also eine Zahl, welche zwischen zwei rationalen 
m m + 1 ; ; : ; 
Zahlen = und E so eingeschlossen ist, dass man die beiden letzteren 
ohne Ende einander nühern — d. h. ihre Differenz 2 mit unendlichem Wachsen 
von z unendlich klein machen kann — ohne gleichwol den Werth der irratio- 
nalen Zahl auf diese Weise vollstindig zu erreichen. 
Eine klare Einsicht in das Wesen einer irrationalen Zahl liefert die 
geometrische Veranschaulichung. In der Planimetrie wird gezeigt, dass bei 
der Vergleichung der Längen. zweier Strecken AB = a, CD = b folgende 
Fälle möglich sind: 1. Man kann die kleinere Strecke ^ wiederholt auf der 
grósseren a abtragen, ohne dass zuletzt ein Rest bleibt. In diesem Falle ist a 
ein (ganzes) Vielfaches von ? und setzt man a — p- 4, so ist ? eine ganze Zahl. 
9. Bei dem wiederholten Abtragen der Strecke ? von der Strecke a bleibt zuletzt 
ein Rest, welcher kleiner als 2 ist, aber man kann eine dritte Strecke ¢ finden, 
welche sich sowol auf 2 als auf @ ohne Rest abtragen lässt. Es ist also @ ein 
Vielfaches eines aliquoten Theiles, z. B. das ;zfache des zten 'Theiles von à, 
und in @ = #- b ist also p eine gebrochene Zahl. 3. Es giebt auch keine dritte 
Strecke c, welcher ein aliquoter Theil beider gegebenen Strecken pas ist. 
Nimmt man in diesem Falle einen beliebigen aliquoten Theil von 2, etwa 25, an 
und trägt denselben so oft als möglich auf @ ab, so bleibt zuletzt ein Rest, 
welcher kleiner als ein solcher Theil sein muss. Hat hierbei eme mmalige Ab- 
m nud 
tragung stattgefunden, so ist a grösser als = b und kleiner als at ó. Da man 
nun den Werth von z so gross machen kann, als man will, so kann man auch