654 Darstellende Geometrie. 
  
Ferner mache man OD = x, OE — z, und ziehe 4D und A Z; ferner ziehe 
man CG parallel OX und CF parallel OZ, sowie FP' parallel OX und GF 
parallel OZ; so ist P' die Centralprojection von /. 
Ausser von den mitgetheilten Sätzen ist hier noch von dem Satze Gebrauch 
gemacht worden, dass Gerade, die mit der Spur einer Ebene parallel sind, 
Centralprojectionen haben, die ebenfalls mit der Spur der Ebene parallel sind. 
Man sieht leicht, wie man umgekehrt aus der Centralprojection eines Punktes 
und seines Abstandes von einer Coordinatenebene, z. B. von der Ebene XO Y, 
die Coordinaten des Punktes bestimmen kann. 
11. Axonometrische Construction der Centralprojection eines 
Punktes, wenn keine Coordinatenebene, doch eine der Achsen mit 
der Projectionsebene zusammenfállt. (Tafel X,4.) 
Es sei A' der Augenpunkt, 7 die Distanz, O der Coordinatenanfang, OZ 
die in der Projectionsebene liegende Coordinatenachse. Die Spur MV der 
Ebene O.XY geht durch O normal zu OZ, die Fluchtlinie / parallel zu dieser 
Geraden durch 4'. Macht man A'C normal zur Fluchtlinie / und gleich der 
Distanz d, und zieht man durch C Gerade, deren Winkel mit CA' gleich den 
Winkeln der Achsen OX und OY mit der Normalen zur Projectionsebene sind, 
so erhält man die Fluchtpunkte & und » dieser beiden Achsen. 
Wir wollen nun die Fluchtpunkte der auf der Ebene OXY liegenden 
Geraden bestimmen, welche von OM und OW Strecken von derselben Grósse 
abschneiden, wie von O.X und O Y, alle Strecken von O aus gerechnet. 
Zu diesem Zwecke ziehen wir durch C eine Parallele zu f, machen 
Cm — Cn — C$ — Cq, und ziehen Cf parallel pg, sowie Cy parallel mz; dann 
sind 8 und 4 die gewünschten Fluchtpunkte. 
Um nun die Centralprojection eines Punktes 2 zu erhalten, der die Coordi- 
nanten x, y, z hat, mache man O Z7 — x, OC — y und durchschneide Ot und 
O mit den Geraden BB und Cy in D und Æ; dann sind OD und OZ die 
Centralprojectionen der von O aus auf den Achsen OX und O Y aufgetragenen 
Strecken x und y. 
Der Schnittpunkt % der Geraden * und Z& ist die Centralprojection der 
Projection des Punktes 2 auf die Ebene O X Y. 
Macht man nun OZ = z, durchschneidet # mit Of, zieht #7 und schliess- 
lich PP parallel OZ, so ist P die gesuchte Projection. 
Man kann auch EZ und nF ziehen, darauf durch Parallele zu OZ die 
Punkte G und Z/ bestimmen und erhdlt dann P als Durchschnitt von Gn 
und Zt. 
19. Construction der Centralprojection eines Punktes aus den 
Coordinaten desselben, wenn keine Coordinatenachse, sondern nur 
der Anfangspunkt in der Projectionsebene liegt. 
Gegeben sei ausser dem Augenpunkt 4/' und der Distanz 7 der Coordinaten- 
anfang O und die Spur S der Ebene O X Y; ferner sei bekannt, dass eine Ebene, 
die der Projectionsebene parallel und von ihr um die Distanz 4 entfernt ist, von 
den Achsen die Strecken OP, OC und O D abschneidet. 
Wir construiren zunüchst (Tafel XI, 2) das Dreieck BCD in der Projections- 
ebene in sonst beliebiger Lage aus seinen Seiten, die als Hypotenusen recht- 
winkeliger Dreiecke gefunden werden, deren Katheten je zwei der Strecken O A, 
OC, OD sind, zeichnen die Höhen dieses Dreiecks und bemerken den Höhen- 
schnittpunkt a.