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54 Arithmetik und Algebra.
die beiden eben angegebenen Grenzwerthe, zwischen welchen der von « liegen
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also die Differenz — dieser Zahlen ist.
Stellt man, wie früher geschehen, die Reihe der ganzen Zahlen durch eine
Reihe von Punkten einer Geraden dar, welche in gleichen Abständen auf ein-
ander folgen, die gebrochenen Zahlen also durch zwischen den ersteren einge-
schaltete Punkte, so bleiben nach dem Vorigen noch immer Punkte übrig, deren
Abstand vom Anfangspunkt der Zählung auf diese Weise nicht erhalten werden
kann, weil er mit dem die Einheit darstellenden Abstand kein gemeinschaftliches
Maass hat. Diese Punkte versinnlichen also die irrationalen Zahlen, und durch
sie wird nun die bisher eine Reihe unterbrochener (wenn auch noch so nahe
aneinanderstehender) Punkte bildende Darstellung der Zahlenreihe zur conti-
nuirlichen Zahlenlinie, denn es kann keinen Punkt auf dieser Linie geben,
dessen Abstand vom Anfangspunkt sich nicht entweder durch eine rationale oder
durch eine irrationale Zahl ausdrücken lässt.
Die irrationalen Zahlen sind, obgleich durch rationale nicht genau angebbar,
doch wie diese, genau bestimmte Zahlen. Sie sind bei der Anwendung auf
benannte Grössen nur mit der gewählten Einheit nicht durch ganze oder gebrochene
Zahlen zu vergleichen, und dieselbe Grösse — z. B. eine Strecke — die in Be-
ziehung auf eine bestimmte Einheit durch eine irrationale Maasszahl gemessen
wird, kann in Beziehung auf eine andere Einheit rational erscheinen.
Sind z. B. die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks gleich e, so ist zufolge des
pythagorüischen Lehrsatzes die Hypotenuse gleich ]/2a2. Nimmt man also die Länge der Ka-
thete zur Einheit an, so ist die der Hypotenuse gleich ]/2. Diese irrationale Zahl ist also
hier durch eine ganz bestimmte, construirbare Lange dargestellt. Dieselbe Länge aber erhält
eine rationale Maasszahl, wenn man z. B. die Hülfte oder das Drittel u. s. w. der Hypotenuse
zur Einheit nimmt, und in diesem Fall wird umgekehrt die Maasszahl der Kathete irrational.
Es erscheint als selbstverstándlich, dass man auch von positiven und nega-
tiven Irrationalzahlen reden, oder dass die Stetigkeit der Zahlenlinie nach beiden
Richtungen vom Anfangspunkt aus erreicht werden kann.
$ 37. Rechnen mit irrationalen Zahlen.
Es entsteht nun zunächst die Frage, ob die bisherigen Erklärungen und
Rechnungsregeln, welche nur unter der Voraussetzung rationaler Zahlen aufge-
stellt oder abgeleitet waren, auch auf irrationale Zahlen angewendet werden dürfen.
Dass dies nicht ohne Weiteres geschehen kann, folgt schon daraus, dass die
früheren Erklärungen der Summe, Differenz u. s. w. von der Entstehung der
Zahlen aus der Einheit ausgingen, bei den Irrationalzahlen aber eine Zerlegung
derselben in Einheiten nicht möglich ist. Gleichwol müssen jene Erklärungen
sich auch auf die neue Zahlform ausdehnen lassen, wie beispielsweise das Vor-
kommen von Irrationalzahlen als Maasszahlen von Strecken zeigt; denn offenbar
kann man eine gegebene Strecke auch um eine ihr incommensurabele verlängern
und die Maasszahl der entstehenden ganzen Strecke als die Summe der Maass-
zahlen der beiden Theile betrachten, u. dgl. m.
Für den hier vorliegenden Zweck dürfte zur Vermeidung weitläufiger abstracter
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