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Arithmetik und Algebra. 
log (a?) = 0. (56) 
Insbesondere ist 
«log à — 1, 
d. h. der Logarithmus der Basis ist stets gleich 1. Dagegen ist 
log 1 = 0, 
d. h. der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0, denn a? — 1. Eine 
Ausnahme von beiden Regeln macht 
Vog 1— 9 
d. h. der Logarithmus von 1 zur Basis 1 kann jede beliebige Zahl sein, da jede 
; Potenz von 1 gleich 1 ist. 
Der Logarithmus einer Zahl a, welche nicht gleicn 1 ist, zur Basis 1 ist 
nicht angebbar. Die Zahl 1 eignet sich daher nicht zur Basis von Logarithmen. 
Ueberhaupt entsteht auch hier die Frage, ob die Logarithmirung auch dann in 
allen Fällen möglich ist, wenn dieselbe nicht aus der Umkehrung einer wirklich 
ausgeführten Potenzirung hervorgegangen, sondern wenn für die Basis und den 
Numerus willkürliche Zahlenwerthe gesetzt sind. Eine allgemeine Beantwortung 
dieser Frage ist hier schon deshalb nicht möglich und muss weitergehenden 
Studien überlassen bleiben, weil bereits bei der Potenzirung die Fälle, in welchen 
die Basis oder der Exponent imaginär oder complex waren, keine elementare 
Behandlung finden konnten. Für den innerhalb der Elemente fallenden Gebrauch 
der Logarithmen ist aber auch eine derartige allgemeine "Theorie der letzteren 
durchaus entbehrlich; es genügt hier zunüchst die Annahme, dass die Basis, wie 
der Numerus reelle Zahlen seien, und diese Voraussetzung soll daher im Fol- 
genden festgehalten werden. 
Ist die Basis negativ, so sind die Logarithmen aller positiven Zahlen, welche 
ungerade Potenzen der Basis sind, und ebenso diejenigen aller negativen Zahlen, 
welche gerade Potenzen der Basis sind, nicht reell. So sind z. B. — Weg (— 4) 
und —2/g 8 nicht durch reelle Zahlen angebbar. Um den hieraus erwachsen- 
den Schwierigkeiten zu entgehen, sollen im Folgenden nur positive reelle Zahlen, 
ausgenommen 0 und 1, als Basen von Logarithmen angewendet und vorausge- 
setzt werden. 
In diesem Fall sind die Logarithmen aller negativen Zahlen nicht reell, von 
jeder positiven Zahl dagegen giebt es einen reellen Logarithmus. 
Um dieses nachzuweisen, beachte man zuerst, dass keine reelle Potenz einer 
positiven Zahl negativ sein kann, sodann, dass man aus a* durch die Annahme 
x=0, x= 1, u. s. w., bezw. x— —1, x — -—2 u. s. w. eine Reihe von Zahlen 
] 1 
—9 2 1, 2, a2, rs 
... 
: a 
erhält, welche nach der einen Seite bis in’s Unendliche wächst, nach der anderen 
bis in’s Unendliche abnimmt. Ist nun “og c= x zu bestimmen, soll also a* = 
¢ sein, so miissen sich fiir reelle positive Werthe von « und c stets zwei Zahlen 
jener Reihe angeben lassen, zwischen welchen ¢ liegt — vorausgesetzt, dass ¢ 
nicht eine der Zahlen jener Reihe selbst, x also ohne Weiteres als ganze Zahl 
bestimmt sei. 
.Es seien « und « -- 1 jene beiden Zahlen, so kann man 
ax = "to = qn . ais, mithin ais = a == (5) 
av a” 
setzen, und wiederum für y zwei ganze Werthe ß,ß +1 bestimmen, sodass 
fort! 
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