192 Strenge Ableitung. 
auch bei der Vergleichung verschiedener Planeten. . Haben diese nun die I 
Massen z; und z4,, so erhält man für die Kráüfte, welche den obigen Beschleu- : 
nigungen entsprechen: 
n o. m. 
rum alae 
Kuh y (1) und f 
1 : 
d. h. das NEwTON'sche Gesetz. mit d 
Andere Ableitung nach HerM?!). Durch Zusammensetzung der elliptischen Be- 
wegung aus zwei auf einander senkrechten geradlinigen ergiebt sich, dass ein 
  
Punkt sich auf einer Ellipse bewegt, wenn nach dem Mittelpunkt die Beschleu- L 
nigungen 2— (2x/7)?.R ( Abstand eines Punktes M vom Mittelpunkt O) wirkt. 
Ist also AV die Ellipsennormale in M, der Brennpunkt, Z4 — r, Winkel (V, 7), 
Winkel (&V, R) = 4, so ist die Beschleunigung # nach F durch die Gleichung r 
p cosa. p? der : C 
Pas 1 PS e die 
gegeben, in welcher / und v die Geschwindigkeiten resp. um O und / sind. also 
Nach dem zweiten KEPLER’schen Gesetze ist nun Æ cos A: 7 cosa =: V, also wird 
3x? A3 053 4 
£c (7) PP S 
Ist ferner a die grosse Halbaxe, so ist R cos À = a cosu, also 
a? 
p 4v? my) d. h. 
also nach dem dritten KEPLER'schen Gesetze des " 
f const «og | T' die 
b) Strenge Ableitung”). Die Bewegung ist eine freie, also, wenn ein eZ = 
rechtwinkliges Coordinatensystem zu Grunde gelegt wird und X YZ die Compo- 
nenten der beschleunigenden Kraft sind, oho 1 
dx dy d?z 
bret, an OB ©) 
Wird die Bahnebene zur xy Ebene gewählt, so ist = 0, also auch Z — 0. A 
Ferner liege der Anfangspunkt der Coordinaten in der Sonne, 7 sei der Radius setz. 
vector und e ihr Winkel mit der a-Axe. Nach dem zweiten KxPLER'schen Ge- entspr 
setze ist alsdann die doppelte Dreiecksfläche Dieu 
rû de = cdt, (3) ere 
also in rechtwinkligen Coordinaten (x = = cosg, y = 7 sing) aso 3 
xD Ly os (3a) auch | 
und durch Differentiation ergieb 
d? y dx Sonne 
N SET 0. (4) thre ] 
Aus (4) und (2) folgt die Proportion X: Y —x:y; sie spricht aus, dass die Die F 
gesuchte Kraft die Richtung der Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet hat. ciellei 
Ist K diese Kraft (positiv, wenn abstossend, negativ, wenn anziehend), so hat man en 
XetEC Ye I 
: Y 7 lautet 
und folglich wegen x? 4- y? — 72, also xdx-r-ydy-rdr: 
Xdx + Ydy = Kdr. (5) ons 
1!) HELM, Grun. Arch. d. Math. u. Phys. 1879, pag. 326. s 
2) KIRCHHOFF, Mechanik pag. 7.