364 Mathematische Theorie, 
Mathematische Theorie des Gleichgewichts der Flüssigkeiten). 
Diese Theorie geht aus von den Gleichungen der allgemeinen Mechanik, 
indem sie in dieselben zunächst die Verallgemeinerung einführt, dass der Körper 
nicht nur als Ganzes, sondern dass auch seine Theile gegeneinander den Ort 
ändern können, und indem sie dann die Specialisirung einführt, dass jene rela- 
tiven Theilbewegungen in der für die tropfbaren Flüssigkeiten charakteristischen 
Weise erfolgt. Das erstere geschieht, indem zu den äusseren, auf die Massen- 
theile der Flüssigkeit wirkenden Kräfte die auf die Oberfläche derselben, aber 
auch auf jedes Flächentheilchen im Innern wirkenden Druckkräfte hinzugefügt 
werden, das letztere geschieht dadurch, dass alle diese Druckkräfte auf einen 
einzigen von Ort zu Ort variirenden, aber an jedem Ort für alle Richtungen 
gleichen und senkrechten Druck reducirt werden. 
Es seien xyz die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes und folglich, 
(dx dy dz 
dt?’ de?’ df 
ferner seien X Y Z die Componenten der äusseren, auf die Masseneinheit der 
Flüssigkeit wirkenden Kraft und folglich, wenn p die Dichte und Z« ein Volumen- 
element der Flüssigkeit ist, p.X 7v, o YZ«, pZd« die Componenten der auf das 
Massenelement wirkenden áusseren Kraft; endlich seien X, Y, Z, die Compo- 
nenten der auf ein Oberflächenelement ds, dessen Normale nach innen die 
Richtung z hat, wirkenden Druckkraft. Das. D’'ALEMBERT’sche Princip (s. Art. 
»Dynamik«, pag. 68) ist dann in den Gleichungen 
wenn 7 die Zeit ist, die Componenten seiner Beschleunigung; 
2 2 
Je GE de =fp Xdr + fXads, p a — fp Y d« 4- fY, ds 
d?z (1) 
Jos d« — fo Zdr + fZnds 
ausgesprochen. Die Gróssen X, Y, Z, sind zwar Componenten, trotzdem aber 
wegen des Index z noch von einer Richtung abhángig, und dasselbe gilt von den 
Flichenelementen ds, deren jedem eine andere Richtung zukommt; man muss 
also diese Gróssen durch reine Zahlengróssen ersetzen, ehe man mit den 
Gleichungen (1) weiter operiren kann. Dies erreicht man auf folgende Weise. 
An dem Orte xyz denke man sich 3 Flàchenelemente, deren Normalen die 
3 Coordinatenaxen sind; in Consequenz der bisherigen Bezeichnungen sind die 
Componenten der auf dieselben wirkenden Drucke mit X; Y, Z, für das erste, 
mit X, Y, Z, für das zweite, und mit .X; Y, Z, für das dritte Fláchenelement 
zu bezeichnen. Es lassen sich dann, wie eine einfache Betrachtung lehrt, die 
auf das beliebige Fláchenelement mit der Normalenrichtung z wirkenden Druck- 
componenten durch die eben eingeführten ausdrücken, und zwar, wenn (»x) der 
Winkel zwischen der Normale und der X-Axe u.s. w. ist, durch die Gleichungen 
X, — X. cos(nx) + X, cos (ny) + Xz cos(nz) 
Y, = V, cos(nx) + Y, cos(ny) + Y, cos(nz) (2) 
Zu = La cos(nx) + Z, cos(ny) + La cos(n3). 
Diese Gleichungen dienen nicht nur zur Fortschaffung der Gróssen X, Y, Z,, 
sondern, vermóge der bekannten, für irgend eine Funktion Z'(x, y, 2) bestehenden 
Relation 
1) Hiervon kann an dieser Stelle nur eine kurze Uebersicht gegeben werden; näheres s. 
in SCHELL, Th. d. Bew. u. Kräfte, Leipz. 1880, Bd. 1, pag. 609 ff. F. NEUMANN, Vorl. üb. 
d. Th. d. Potentials, Leipz. 1887, pag. 86 ff. KIRCHHOFF, Vorl. üb. Mechanik, u. in andern 
Lehrbüchern. 
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
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