Ellipsoide. 
$ ] /aà — çà 2p? 
e (e = 7 — 9nep (10) 
v= | wey = S AT (arc tan i$) 
JOE XE a) A? 05 35 
oder auch noch einfacher 
A2) arc tang) — 83) 
BE e gh— 3) (11) 
Aus dieser Gleichung kann man mittelst des graphischen Verfahrens die 
einem gegebenen z, also nach der dritten Gleichung (10) einer gegebenen Winkel- 
geschwindigkeit entsprechenden Abplattungen, d. h. Gestalten der Rotationsellip- 
soide bestimmen. Das Ergebniss ist folgendes: Zwischen den Grenzen 7 — 0 und 
Umaz, = 0°2246, d. h. bis zu einer Winkelgeschwindigkeit max. = 104492 rep 
giebt es zwei verschiedene Rotationsellipsoide als Gleichgewichtsfiguren; fiir 
7) — 0, d. h. sehr kleine Winkelgeschwindigkeit ist das eine nahezu eine Kugel, 
das andre nahezu eine kreisfórmige Scheibe; mit wachsendem ze nimmt die Ab- 
plattung der Kugel ab, die der Scheibe zu, und für z — w,,,, werden sie iden- 
tisch, und die Abplattung A == 2:5293. Bei grósserer Winkelgeschwindigkeit end- 
lich kann kein Rotationsellipsoid Gleichgewichtsfigur sein.) 
Die Gleichung (8) zeigt, da ihre linke Seite ausser dem Faktor 2? — a? noch 
einen zweiten enthält, die Möglichkeit, dass auch für 4 Zz a eine Lósung existire, 
d. h. dass auch ein dreiaxiges Ellipsoid Gleichgewichtsfgur sei. Setzt 
man wieder s/c?— x und führt die neuen Zeichen s und 7 für die Axenverhält- 
nisse 5 — c?/5?, ?— c?/a? ein, so kann man aus den Gleichungen (8) und (9) 
Gleichungen ableiten, deren erste in der That durch ein dreiaxiges Ellipsoid, 
aber auch nur durch eines erfüllt wird, falls nur die kleinste Axe die Drehungs- 
axe ist, und falls nicht nur s « 1 und 7 — 1, sondern sogar s 4- Z2 1 ist. Die zweite 
der neuen Gleichungen lehrt dann wieder, dass die konstatirte Existenz auf ge- 
wisse Grenzen von zv» beschrünkt ist, und zwar kann ein dreiaxiges Ellipsoid nur 
Gleichgewichtsfigur sein, wenn 2 — 0:1871, also die Winkelgeschwindigkeit kleiner 
als y 01871 . 2mep ist. Ist sie sehr klein, so ist s=1, #=0, d. h. die kleinere 
der dquatorialen Axen gleich der Drehungsaxe, die gróssere sehr lang, die Figur 
ist also ein Kreiscylinder, der sich um seine senkrecht zur Figuraxe gelegte Mittel- 
linie dreht. Nimmt die Geschwindigkeit zu, so wird die kleinere áquatoriale Axe 
grösser, die grosse kleiner, und fiir v = v,,,,. sind sie einander gleich und das 
Ellipsoid mit einem der beiden diesem 7 entsprechenden Rotationsellipsoide 
identisch geworden. Das dreiaxige Gleichgewichtsellipsoid heisst nach seinem 
Entdecker das JAcoBrsche Ellipsoid?). 
Endlich hat MaTrHrESSEN?) gezeigt, dass es zwischen v — 0 und 2— 05 
noch zwei Cylinder, deren Axe die Drehungsaxe ist, giebt, námlich einen mit 
  
  
ein, so erhält man 
  
  
1) Das Rotationsellipsoid als Gleichgewichtsfigur fand MACLAURIN (Treatise on fluctions, 
Lond. 1742, also schon vor CLAIRAUT's Schrift). Eine Tabelle, welche die Beziehungen zwischen 
A und w darstellt, sehe man bei THoMsoN u. TArr, Hdb. d. th. Phys. 2, pag. 318. 
?) C. G. J. Jacosr, PoGG. Ann. 33, pag. 229 (1834); ferner ist zu verweisen auf LIOUVILLE, 
J. de l’école polyt. 23, pag. 289 (1835); C. O. MEYER, CRELLE’s J. 24, pag. 44 (1842), und 
TODHUNTER, Prc. R. S. Lond. 19, pag. 42 (1870—71). 
3) MATTHIESSEN, Ueb. d. Gleichgewichtsfiguren rotirender Flüssigkeiten. Kiel 1857. — 
Weitere Untersuchungen des Verf. Kiel 1860; Z. f. Math. u. Phys. 16, pag. 290. 1871, und 28, 
pag. 31. 1883. 
      
   
   
  
  
  
  
  
  
  
    
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
  
     
  
    
   
  
  
  
  
   
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