404 TORRICELLT’Sches Theorem. 
bei gleichen Drucken also die Ausflussgeschwindigkeit verschiedener Flüssigkeiten 
der Wurzel aus deren Dichte umgekehrt proportional. 
Von geringerem Interesse ist der letzte in der Gleichung (1) enthaltene Satz, 
wonach v auch von g abhängig ist, also von Ort zu Ort ebenso wie Fallraum, 
Pendellànge u. s. w. variirt. 
Theoretisch hat man sich das TorricELLI'sche "Theorem auf verschiedene 
Weise durch elementare Betrachtungen, welche die Analogie mit dem freien 
Fall benutzen, begreiflich zu machen gesucht, ohne dass dieselben jedoch auf 
Strenge Anspruch erheben kónnten; am befriedigendsten ist noch die zuerst von 
D. BERNour.LI gegebene Ableitung?) aus dem Satz von der lebendigen Kraft, 
d. h. durch Ansatz der Gleichung, dass die Arbeit beim Sinken des Spiegels 
um einen gewissen Betrag gleich der kinetischen Energie der gleichzeitig aus- 
geflossenen Flüssigkeit ist. Dagegen führen die hydrodynamischen Grund- 
gleichungen ohne weiteres zum Ziel, und zwar zu einem solchen, welches 
weit allgemeiner ist, als das genannte Theorem. Schreibt man nämlich die 
Gleichung (26) (Art. Hydrodynamik, pag. 380), indem man sie auf stationäre 
Bewegung anwendet, die Dichte constant setzt und von Kräften nur die Schwere 
annimmt, in der Form 
i — ZZ + vi — const, (3) 
2 p : 
und bildet man sie einmal für den Spiegel, wo z — 0 und der Druck 5, sei, 
andererseits für die freie Strahloberfläche (unverändert), so erhält man durch 
Subtraktion 
2 
Ug —Uy -2g2-- b (Po — f) 
oder, wenn 4, der Querschnitt im Spiegel 4 der in der Oeffnung oder besser 
der des Strahls ist (s. u.), mit Benutzung der Gleichung 24 — 7, 4: 
9 
a8 7 = Do) 
7° 
q9¢ 
Diese allgemeine Formel?) liefert als speciellen Fall das TORRICELLI'sche 
Theorem, wenn der Druck im Spiegel gleich dem in der Strahloberfläche und 
die Oeffnung klein gegen den Spiegel ist. Ist letzteres auch der Fall, der 
Ueberdruck aber so gross, dass man die Wirkung der Schwere vernachlássigen 
kann, oder füllt die Schwere überhaupt weg, was stattfindet, wenn die Flüssig- 
keit in einen nicht mit Luft, sondern mit einer gleich schweren Flüssigkeit (z. B. 
ihr selbst) erfüllten Raum ausfliesst, so wird 
9 
v2 = P (Bo — 2) 
die Ausflussgeschwindigkeit ist also dann der Quadratwurzel aus dem Ueberdruck 
direkt und der Quadratwurzel aus der Dichte umgekehrt proportional. 
Wird nicht für Erhaltung des Niveaus im Spiegel gesorgt, so hórt die Er- 
scheinung auf, stationär zu sein, und das Gefäss entleert sich allmählich, und 
zwar ist die Geschwindigkeit, mit welcher der Spiegel sinkt, also die Flüssigkeits- 
höhe abnimmt: 
  
(4) 
Uo — 
1 
1) S. z B. MacH, Die Mechanik u. s. w., pag. 379. 
2) Vorar, Elementare Mechanik, Leipz. 1889, pag. 361. 
        
   
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
   
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
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