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Anwendungen der GAuss’schen Theorie. 
48) Das ganze in einer cylindrischen vertikalen Röhre von be- 
liebigem Querschnitt gehobene Flüssigkeitsvolum. Beziehung der 
Gauss'schen Constante a? zu der früher benutzten Constante a. 
Die xy-Ebene sei das allgemeine Niveau. Dann ist, wenn z die Erhebung 
eines Punktes der capillaren Oberfläche bedeutet, 
g = — g? (z+7): 
LR 
Multiplicirt man mit dx dy und integrirt durch den ganzen Querschnitt des 
Rohres, so kommt links das ganze gehobene Flüssigkeitsvolum; rechts 
1 1 
fJisdr( um): 
Dieses Integral lisst sich aber auffassen als die Verticalcomponente eines 
Systems von Kräften, welche normal auf die Flüssigkeitsoberfläche wirken und 
: 1 : ; 
fir jedes Element dw die Grosse dw ( m haben. Ein derartiges System 
lässt sich aber durch zwei einfachere Systeme, nämlich solche mit constanter 
Normalkraft, in der folgenden Weise einsetzen. Man denke sich parallel der 
Flüssigkeitsoberfläche zu eine zweite z/ im unendlich kleinen Abstand e. 
Auf ein Element der ersten wirke die Normalkraft = dw; auf ein Element der 
zweiten die entgegengesetzt gerichtete Normalkraft — dw'.- Die Differenz beider 
Kräfte ist 
1 1 1 
> (dw' — dw) = dw (2 + x) : 
Man weiss nun aber, dass ein System von constanten Normaldrucken, die 
auf eine beliebig gekrümmte Fläche wirken, einen Gesammtdruck nach irgend 
einer Richtung s ergeben, welcher gleich ist dem Normaldruck (bezogen auf die 
Flächeneinheit) multiplicirt mit der Projection des Fläche auf eine zu s senk- 
rechte Ebene. Hier ist s die Verticalrichtung. Nennt man daher die Projectionen 
der Fächen w und auf eine Horizontalebene resp. P, und 75, so ist 
f [4x dy (i -x) = (= Pat: 
Nennt man Z die Contourlänge der Projectionsfläche P,, ferner wieder & 
den Randwinkel, so ist P,— P,= Lecos®; daher endlich 
Jf jox dy (1 + x) mx 1 (050. 
RE 
Bezeichnet // das ganze in der Róhre gehobene Flüssigkeitsvolum, so folgt also 
(m) ..V= a? L cos ®. 
Die Vergleichung mit Gleichung III, $ 5, zeigt, dass die Gauss'sche Con- 
stante a? zu den früheren Constanten die Beziehung hat: 
H : 2 
ug = uS us 3 anos kg, 
wenn c specifisches Gewicht, Æ specifische Masse bezeichnet. 
Die Gleichung (m) ist der allgemeine Beweis für den schon früher benutzten 
Satz, dass «cos für beliebig gekrümmte verticale Wände das pro 
Mill. Contactlinie gehobene Flüssigkeitsgewicht darstellt. 
  
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