Statik.
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dingung auch hinreichend ist, ergiebt sich, wenn man, was erlaubt ist, ös'=0
setzt. Ebenso lässt sich der Beweis erweitern für zwei starr verbundene Punkte
und schliesslich für ein ganzes Punktsystem.
Ehe von diesem Princip die bezeichnete Anwendung gemacht wird, ist es
wichtig, dasselbe noch in einer andern Weise zu formuliren.
Es handle sich um ein System von z Punkten; in der Gleichung (6) kommen
alsdann 32 Verschiebungen vor. Sind nun zwischen den Punkten z; Bedingungs-
gleichungen gegeben, so lassen sich x jener Verschiebungen durch die 3% — m
übrigen ausdrücken. Die so erhaltene Gleichung bezieht sich dann offenbar auf
ein vollkommen freies System, die Verschiebungen sind sämmtlich beliebig, und
folglich muss der Coéfficient jeder Verschiebung für sich verschwinden, was 3» — 7m
Gleichungen ergiebt. Diese zusammen mit den ;; Bedingungsgleichungen be-
stimmen die 3 z Coordinaten, die Aufgabe ist also gelóst. Aber diese Methode
ist complicirt und wenig elegant, und sie wird entbehrlich durch die Benutzung
der sogen. LAGRANGE'schen Multiplikatoren. Aus den gegebenen Bedingungs-
gleichungen
Uu, D —0u sw,
wo U, V u. s. w. Funktionen der Coordinaten x, y, z, x,, V4, 7, Uu. S. W. sind»
folgt:
oU QU a oU. ah
I, hn a ba tae boum
ov ov V. oV
cg RO A A EST p UR uk =,
(m Gleichungen)
wozu noch die Gleichung (6) hinzutritt: . .
X,5x, + Y,854 + 7495, + X939%3 +... . 0.
Diese Gleichungen addiren wir, nachdem wir die ersten x derselben be-
ziehungsweise mit den vorläufig noch unbestimmten Grössen A, p, u. s. w. mul-
tiplicirt haben. Das Resultat ist:
(ce xL «Jon + (7 al rpg 5y + ....=0. (8)
Nun bestimmen wir die z Gróssen A, p u. s. w. derart, dass die ersten
m Klammergrössen in der soeben erhaltenen Gleichung verschwinden, dass also:
0 0
P tg =O) ithe ug «mm. us Wei (9)
wird; die Gleichung reducirt sich hierdurch auf 3% — % Glieder; da sie sich
aber nunmehr auf ein völlig freies System bezieht, also sämmtliche noch übrige
8 beliebig sind, so muss jedes noch vorhandene Glied, also jede Klammergrósse
für sich verschwinden; die letzte der so erhaltenen Gleichungen lautet:
OU oV
E. rto (09)
Es hat sich somit ein ganz symmetrisches System von 37 Gleichungen, be-
stehend aus sámmtlichen gleich Null gesetzten Klammergróssen der Gleichung
(8) ergeben. Mit den ; gegebenen Bedingungsgleichungen hat. man also
3n + m Gleichungen, durch welche sich die 37 Coordinaten und die æ Multipli-
katoren gerade bestimmen lassen. Das Problem ist also gelôst.
Der Werth dieser Methode lässt sich erst durch die physikalische Deutung
der zuletzt gewonnenen 3% Gleichungen (9) und (9a) erkennen, Während näm-
lich bei einem freien System
Xz=0 VS UZÉ0: Xou-—0....
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