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A, 
remet mpm x 
P were 
62 Gleichgewicht eines Fadens. 
Gewicht G des Kórpers und die Coordinate & des Schwerpunktes einführt, Gt — 0, 
also 8£— 0 schreiben. Diese Gleichung sagt aus, dass beim Durchgange durch 
das Gleichgewicht der Schwerpunkt sich in gleicher Hóhe, d. h. horizontal be- 
wegt. Dies ist nun moglich 1, wenn überhaupt {= constant ist: Fall des in- 
differenten Gleichgewichtes; 2. wenn { ein Minimum ist, also der Schwerpunkt 
seine tiefste Lage einnimmt: labiles Gleichgewicht, und 3., wenn { ein Maximum 
ist, also der Schwerpunkt seine höchste Stellung einnimmt. Verallgemeinert man 
jetzt die Betrachtung, so kann man die Gleichung Z(Xöx + Yöy + Zöz)= 0 durch 
Einführung des Potentials / der wirklichen Kráfte in die Form 8 7 — 0 bringen, 
und gelangt dann zu dem wichtigen Resultat, dass beim stabilen Gleichgewicht 
eines Körpers unter der Wirkung irgend welcher Potentialkráfte das Potential ein 
Maximum ist. 
Gleichgewicht eines biegsamen, unausdehnbaren Fadens. Es 
handelt sich darum, die Spannungen in dem Faden, d. h. die negativen Drucke, 
welche seine Theile auszuhalten haben, hauptsächlich aber seine Gleichgewichts- 
figur zu finden. Physikalisch ist die letztere Anfgabe nach dem obigen durch die 
Angabe gelöst, dass der Faden diejenige Gestalt annehmen muss, bei welcher 
sein Schwerpunkt möglichst tief liegt, und es handelt sich hiernach nur noch um 
die mathematische Lösung. 
Es seien x,yızı und x,ya%za die Coordinaten der Endpunkte, die Compo- 
nenten der auf diese wirkenden Kräfte X,Y,Z, und X,Y,Z,, endlich Xds, 
Yds, Zds die Componenten der auf ein beliebiges Bogenelement des Fadens 
wirkenden Kraft. Die Grósse, welche alsdann nach dem Princip der virtuellen 
Verrückungen [Gleichung (6), pag. 47] gleich null zu setzen ist, enthált dann die 
folgenden Glieder: 
X9 
X,0x,-- Y,8y,-- Z,02, + X30x5 -- Y,8y, 4- Z,02, 2- [ds (X0x -- Vày + Zóz). 
X1 
Nun ist aber das System einer Bedingung unterworfen, nämlich der, dass das 
Bogenelement Zs von unveründerter Lánge bleiben muss. Man muss also zu den 
obigen noch das mit dem LacRANGE'schen Faktor A multiplicirte und über den 
ganzen Faden integrirte Glied 87s, d. h. den Ausdruck 
x3 
dx dy dz 
f (= döx + Ji addy + i dès) 
xX] 
hinzufügen. Dabei empfiehlt es sich, die einzelnen Theile desselben partiell zu 
integriren, also z. B. 
x X9 
2 "T 
dx dx de. 
#1 ai X 
zu setzen und schliesslich alle Glieder nach den 8 gleicher Gróssen zu ordnen. 
Es ergiebt sich dann die Gleichung 
dx ; ‘ dy E dz 
[5- 62). i [n - 62), ]io [a 7 62). ] o 
dx\ |; dy dz 
* [x + (x an Sat E + (» um Set 2 + ( e d 62, 
x2 
» f [be - t] [as = (2) a= [25s (2) ] =o. 
A . . . . . 
Nunmehr darf das System als ein vóllig freies betrachtet werden, die 8 sind 
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