64 Kettenlinie.
wird und ferner, dass der Faktor von S im letzten Gliede sich durch den ersten
Krümmungsradius 7!) nach der Formel
1 1 dx dy da}
Ee (45) + (432) ^ (4%)
ausdrücken lässt, so erhält man
d d d
KH VD +205 =—S5. (40a)
Multiplicirt man andererseits die dotem (39) resp. mit dx/ds, dy/ds,
dz/ds und addirt sie, so wird der Faktor von &.S gleich eins, der von .S gleich
null, und es wird
Xdx + Ydy + Zdz + dS =0, (40b)
Quadrirt man endlich die Gleichungen (39) und addirt sie, benutzt die beiden
Beziehungen (40a) und (40b) und nennt die Kraft A4, so findet man
ds?
Pda SS n (41)
#2
Damit ist eine Relation zwischen Spannung, Krümmungsradius und wirkender
Kraft gefunden. Die Gleichungen (40) und (41) enthalten die Läsungen des
allgemeinen Problems.
Kettenlinie.”) Die obigen Resultate lassen sich leicht für den Fall der
Schwerkraft specialisieren. Die xy-Ebene sei die Vertikalebene, die y-Axe der
Schwere entgegengerichtet; dann hat man als Hauptgleichungen, wenn p die
Dichte des Fadenmateriales ist (Gewicht der Längeneinheit):
dx dy
Man kann diese Gleichungen übrigens auch direkt ableiten. Successive er-
hält man nun folgende Ausdrücke
525 e 82 prs, folglich —€—
hieraus
d? y E CU dy iG ;
Ji e - 1 + (2 2 , folglich integrirt
pape Pac)
y=3 ° eo iU 6. CL) up
Die Integrationsconstanten bestimmen sich durch die für die beiden End-
punkte des Fadens gegebenen Beziehungen zwischen x und y; es zeigt sich dabei,
dass die Gleichung am einfachsten wird, wenn man die y-Axe durch den tiefsten
Punkt, den sogenanten Scheitel der Curve hindurchlegt und die x-Axe in einem
gewissen Abstand ;» unterhalb des Scheitels zieht. Es wird dann
“|; =)
yma 4-e x). (42)
Diese Gleichungscurve eines hüngenden unausdehnbaren Fadens heisst die
gemeine Kettenlinie. Es handelt sich noch darum anzugeben, wie man den in
ihr vorkommenden Parameter z; zu bestimmen habe. Geometrisch bedeutet
derselbe die Hóhe des Scheitels über dem Coordinatenanfange, physikalisch, wie
leicht abzuleiten, das Verhältnis der Scheitelspannung zum Gewichte der Lüngen-
einheit. Von den Formeln, welche z; bestimmen, sind die wichtigsten, wenn der
Einfachheit halber die Kette symmetrisch, also beide Endpunkte in gleicher Hóhe
1) D. h. durch den Krümmungsradius in der Schmiegungsebene.
?) Die Lósung dieses Problems findet sich, als Antwort auf die Fragestellung JAC. BERNOUILLI's
in den Acta Erud. 1691, u. zwar gleichzeitig von Jon. BERNOUILLI, LEIBNITZ und HUYGENS.
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