6 Potentialtheorie. 
falls s, nicht selbst unendlich klein von derselben oder hóheren Ordnung ist, 
als rs. 
Wenn man nun von der Abstraktion der materiellen Punkte übergeht zu 
wirklichen Kraft ausübenden Körpern, so ist bei diesen ja die Dichtigkeit der 
Masse stets endlich, d. h. in einem unendlich kleinen Volumen des Körpers ist 
auch blos eine unendlich kleine Masse enthalten. Es sei abc ein beliebiger 
Punkt eines Körpers X, und es sei an diesem Punkte ein unendlich kleines 
Parallelepiped construirt mit den Seiten da, db, de, so ist dessen Volumen 
da db dc, und wenn p die Dichtigkeit des Körpers ist, so ist die Masse dm in 
diesem Volumeneiement 
dm = pdadb dc. 
Dabei kann die Dichtigkeit p in jedem Punkte des Körpers einen andern 
Werth haben, oder sie kann auch constant sein. In letzterem Falle nennt man 
den Körper homogen. Ist nun wieder p der Punkt, auf den der Körper mit 
Krüften wirkt, die eben berechnet werden sollen, so ist die Entfernung des obigen 
Volumenelementes von diesem Punkte 
r=Ve—0+0—9"+G— 0? 
und es ist das Potential dieser Volumenelemente an der Stelle xyz 
dm ó da db dc 
y 
  
Indem wir diesen Ausdruck für alle Punkte z2c des Kórpers bilden, d. h. 
über den ganzen Kórper integriren, erhalten wir das Potential des ganzen Kórpers 
M I = a) x E TE @— 
Für die Integration ist xyz constant, blos abc variabel. Hat man integrirt, 
so erhält man für U eine Funktion von xyz, welche noch abhängt von der Form 
und Dichtigkeitsvertheilung des Körpers. 
Einfacher geschrieben lautet der obige Ausdruck, wenn man unter Z« ein 
Volumenelement des Kórpers K und unter 7 dessen Abstand von dem ange- 
griffenen Punkt versteht 
= pdt : 
7 
K 
  
Die Kraftcomponenten am Punkte y (xyz) sind wieder 
  
  
oU oU QU 
Xue yz— dy dmg == popes 
Das Potential bleibt endlich, auch wenn man einen Punkt des Korpers selbst 
als den angegriffenen betrachtet. Denn es wird zwar dann in der Summe, die das 
Potential darstellt, ein 7 gleich Null, nämlich dasjenige, das von dem angegriffenen 
Punkt selbst herrührt, aber da die Masse in diesem Punkt unendlich klein ist und 
7a db dc 
zwar von der dritten Ordnung (p Za d? dc), so bleibt ga 9 selbst gleich Null. 
Auch die Kraftcomponenten X YZ bleiben endlich, Selbst für einen Punkt p im 
Innern des Kórpers. Denn es ist z. B. 
ol 
S DEUS. pdt (x — a) 
xeu fois: — cuf pA 
x —a : js p 
Da nun b den Cosinus des Winkels (7, x) vorstellt, also endlich ist und 
  
  
N BP STR RY AAS NN fi = [vw n 
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