8 Potentialtheorie. 
Ferner ist aber Kcosa — X, KcosB— Y, Kcosy=— Z und ds cos! = dx, 
ds cos m= dy, ds cos n = dz, also auch 
8d =Xdx + Ydy + Zdz. 
Haben nun die Kräfte ein Potential U, so ist 
àA = — (65 a= + oU + 9 os ) ——qU 
ox Oy 0z 
also die Elementararbeit der Kraft (aut unendlich kleinem Wege) ist gleich der 
Abnahme des Potentials. 
Führen wir unsern Punkt von irgend einer Stelle 1 nach einer Stelle 2, um 
endliche Strecken fort, so ist die Arbeit, die die Kraft dabei leistet 
A— —f4U — U,— U,. 
1 
Diese Arbeit hängt also nur von den Endpunkten 1 und 2 der Verschiebung, 
gar nicht von dem Wege zwischen 1 und 2 ab. 
Die Arbeit, welche man gegen die Kraft leisten muss, um den Punkt von 
1 nach 2 zu bringen ist Sad 
W zz U,— U,. 
Wenn wir nun als 1 einen festen Punkt Z, als Ausgangspunkt, annehmen, 
in dem das Potential constant — C ist und für 2 irgend einen beliebigen Punkt 
xyz nehmen, so wird ; 
W 4- C — U. 
Diese Gleichung besagt: Das Potential U an irgend einer Stelle xyz ist bis 
auf eine Constante gleich der Arbeit, welche man gegen die Krifte des Systemes 
leisten muss, um den Angriffspunkt von einem fest gewählten Ausgangspunkt bis 
an die betrachtete Stelle zu bringen, oder es ist gleich der Arbeit, welche die 
Kräfte des Systemes leisten, um den Angriffspunkt von der betrachteten Stelle 
aus bis zu einem fest gewählten Punkt Z zu bringen. 
Ist an der Ausgangsstelle das Potential Null, so giebt diese Arbeit direkt 
das Potential. 
Für die NEwroN'sche und Courows'sche Kraft wáhlt man als Ausgangspunkt 
zweckmissig einen unendlich entfernten Punkt, weil für diesen alle » = oo, also 
C — 0 wird. 
Handelt es sich um die Erdschwere, welche vertikal abwárts wirkt, so ist, 
wenn die z-Axe vertikal nach oben geht 
X2=0 Y=0 Z=-— 
Das Potential also. U — gz. 
Als Ausgangspunkt wird man hier einen Punkt an der Erdoberfläche nehmen, 
für welchen z — 0 also U — 0 ist, es ist also das Potential der Erdschwere in 
einer Hóhe z über dem Erdboden gleich der Arbeit, welche man gegen die 
Schwere leisten muss, um die Einheit der Masse vom Erdboden bis zur Höhe z 
zu bringen. 
X 
II. Eigenschaften des NEW TON'schen Raumpotentials. 
Das Potential eines Systemes von kraftáussernden Punkten hat an jeder Stelle 
des Raumes also einen bestimmten Werth, U ist eine Funktion von xyz. Alle 
diejenigen Punkte, an welchen U denselben Werth hat, liegen auf einer Fläche, 
deren Gleichung eben ist 
U(xyz) = const. 
Jede solche Fläche nennt man eine Fläche gleichen Potentials oder 
Niveaufläche. Wenn man die ganze Kraft Æ, die an irgend einem Punkte an- 
greift, zerlegt in Componenten nach den drei Richtungen, von denen die eine die 
Ne de NER ER AE SN LAN ER e EU, St >> d FC TES A