Die LAPLACE’sche und die PorssoN'sche Gleichung. II 
Durch Addition ergiebt sich 
0947 RU BU 
9x3 0 wyr t Gy 
oder abgekürzt geschrieben A U = 0. 
Das ist die Differentialgleichung des NEwron’schen Potentials fiir einen 
ausserhalb der wirkenden Masse liegenden Punkt. Man nennt sie die LAPLACE- 
sche Gleichung. Für einen innerhalb der Masse liegenden Punkt wird » = 0 
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= 0 
und man muss desshalb untersuchen, ob nicht die Gréssen 
Werthe bekommen. 
Es sei 4 die Stelle des Korpers X, für welche A U bestimmt werden soll. 
Man kann den Körper in 2 Thle. Æ, und Æ, sich getheilt denken, indem man 
um 4 mit einem beliebig grossen oder kleinem Radius Æ eine Kugel beschreibt. 
K, sei der Theil des Kórpers ausserhalb der Kugel, X, die Kugel, U, und U, 
die Potentiale, die von Æ, und Æ, herrühren. Es ist dann U, und seine Diffe- 
rentialquotienten stets endlich, weil 4 endlich von allen Punkten entfernt ist. Nur 
in U, könnten Unstetigkeiten vorkommen. Es ist auch 
AU=AU +AU, 
und À 7, -- 0, weil 4 für A, ein dusserer Punkt ist, also bleibt 
AU-AU,. 
Nun ist U, das Potential einer Kugel auf einen inneren Punkt, nämlich auf 
ihren Mittelpunkt und es ist also, wenn wir die Kugel so klein annehmen, dass 
wir die Dichtigkeit in ihr als constant ansehen können: 
U, = 2x? — ime e, 
2 d 
= U. S. W. andere 
0x2 
  
  
  
  
se U à U, U, 
QUS An) 2. 47 QU» 4xp 
TA e ida ù 3" REED. 
027, 00, QU. - Anp 
ox) — 0) $033. —— dj 
also 
AU, — — Anp. 
Daher haben wir für einen Punkt innerhalb der wirkenden Masse 
AU — — 4np. 
Diese Gleichung nennt man die PorssoN'sche Gleichung. Wenn man 
also für jeden Punkt des Raumes das Potential U kennt als Function von x yz, 
ohne zu wissen, wie die Massen vertheilt sind, von denen es herrührt, so findet 
man durch Bildung der Operation À umgekehrt die Dichtigkeit an jedem Punkte 
des Raumes. Da, wo keine wirkenden Massen sind, ist AU — 0, also auch die 
Dichtigkeit = 0, da, wo wirkende Massen vorhanden sind, ist p = — AU. 
Diese Beziehung gilt aber nicht fiir jedes beliebige Potential, sondern nur 
für das NEwtoN’sche Potential, d. h. für Kräfte, die umgekehrt proportional 
dem Quadrat der Entfernung wirken. 
Aus der Differentialgleichung AU — — 4p lásst sich umgekehrt, indem man 
sie integrirt, das Potential für jeden Punkt finden. Dabei ist nur zu bemerken, dass 
U selbst gleich 0 wird fiir » = co und diese Bedingung ist jeder Lösung der 
Gleichung AU = — 4x aufzulegen. Ferner aber ist für einen unendlich ent- 
fernten Punkt zwar U. = 0, aber 
Us ros mm fpdt = M, 
wo M die Masse des Körpers, von dem die Kráfte ausgehen, ist. Diese Glei- 
chung dient oft zur Bestimmung von Integrationsconstanten.