SE fas e 
Mui o p ONDE te aM theft T LEE di t 
12 Potentialtheorie. 
Dass man aus der Gleichung AU — — 47 die Werthe des Potentials selbst 
finden kann, soll für das Beispiel einer homogenen Kugel gezeigt werden. Bei 
dieser kann das Potential an jedem Punkt ausserhalb oder innerhalb nur von dem 
Radiusvektor Z abhängen, der vom Mittelpunkt der Kugel aus gezogen ist, die 
Niveauflächen müssen Kugelflächen sein. Es hängt also U nicht von xyz, sondern 
nur von Z = Va? + y? + 2? ab. Daher ist 
2 9 7 : 
Apu mU al ]):;- 4 (2: 7%) 
SEP UXGJEU JE ZE 
Für einen äusseren Punkt ist also 
AUG dh. AC ED 
dE dE 
also di c 
70 == ff. t m 
EK JE U = pte 
worin C und 2 Integrationsconstanten sind. Da Us fico = M sein muss, so 
folgt D — 0, — C — M, also 
  
M 
| | UE. 
wie oben abgeleitet. 
Für einen inneren Punkt ist 
d dU dU Arp 
—— | £2 57.) = — Arp A? als E IE e C—7- E. 
sz (^ sz) 4zp.E?, also A ZE C 3 E 
Wendet man diesen Ausdruck für E — 0 an, so ergiebt sich C — 0, also 
dU Anp 
Eu. 
mithin 
950 
Ue D— —g* E. 
D ist eine Constante, die in unserer früheren Betrachtung gleich 2xp Æ* ge- 
funden wurde. 
In derselben Weise lassen sich durch Umformung des Ausdrucks AU in 
Cylinder-, Kugel, elliptische Coordinaten u. s. w. die Werthe des Potentials 
für homogene und inhomogene Kugeln, Cylinder, Ellipsoide finden. 
Es móge nur das Potential eines homogenen Ellipsoids angeführt, nicht ab- 
geleitet werden. Das Ellipsoid habe die Gleichung 
x? y? 22 
22 + 52 + ga 1. 
Dann ist 
U = N — Ax? — By? — Cz, 
worin die Gróssen ZV, A4, B, C für einen äusseren und einen inneren Punkt je 
durch bestimmte Integrale definirt sind. Es ist nämlich für einen inneren Punkt 
ON 
  
N; — TT a b C — SNS —— 
Va? + ») (6? + 1) (2+ A) 
0 
  
  
à 1 
J @ + V (a? 4- 3) (82 + 3) (c? + X) 
S. di 
D; eq oc E T RR EN —2 = — = 
JA y (a? 4- 3) (92 4- 2) (e? 4- 2) 
7) 
C; zz abe | triées TET = 
(ec? + A) y (a? + 1) (? + à) (c* +11) 
  
0