Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, 515
d) Mehrfache Lösungen des Problemes.
Obgleich die Möglichkeit einer mehrfachen Lösung des Kometenproblemes
schon aus den Grundgleichungen ersichtlich ist und um so mehr vermuthet
werden kann, als ja eigentlich die Gauss'sche Methode, welche mehrfache
Lósungen zulásst, das parabolische Bahnbestimmungsproblem in sich enthält, so
war OPPOLZER doch der erste, der in seinem »Lehrbuch der Bahnbestimmungen«
I. Bd, 2. Aufl. (1882), pag. 308 ff, die Untersuchung für die Parabel in Angrift
nahm.
Aus der EurER'schen Gleichung I folgt genáhert
uu 2 (f, — 4)
3 V2r,
— Ry cos $5)? + R2 sin? v,
| 2£3(/ — 4)?
Fa
wo die Hilfsgrössen eine ähnliche Bedeutung für den zweiten Ort haben, wie
die früher abgeleiteten für den ersten und dritten Ort. Aus dem Ausdrucke
für die Geschwindigkeit eines Himmelskórpers in seiner Bahn [Gleichung (18)],
ergiebt sich genáhert die Sehne der Erdbahn
1
& = k(t -9y gi - 1,
Daraus folgt unter Berücksichtigung der Grössen zweiter Ordnung der
Erdbahnexcentricität
und ferner ist
|
N
Mao Da
(Pa
$ (Apa — & cos 9)? + g sin? ¢ = ;
2765
Ry
Es ist daher
a 28^ 83
Hu
2
oder
2 2 cin? 25254
a i SABE Tue Re o
etzt man
Pa A?
| xe RR genet,
so wird
(a2x? — 9cos q ax 4- 1)?(x? — 2cos 4 x -- 1) — 4 A2. (A)
Diese Gleichung sechsten Grades hat immer zwei imagináre Wurzeln; denn
differenziirt man den Ausdruck und setzt denselben gleich Null, so wird der
Faktor
a? x? — 2 cosqax + 1 = 0,
der, so lange x reell und cos q — zc 1 ist, niemals Null werden kann; man er-
hált dann die folgende Gleichung dritten Grades!)
2 (a? x — a cos q) (x? — 2 cos ax + 1) + (B)
+ (a? x? — 9 cos qax -- 1) (x — cos ba) = 0.
Um die Móglichkeit positiver Lósungen von x (denn dasselbe ist gleich
=, also nothwendig positiv) besser zu übersehen, construiren wir den Ausdruck
2 :
1) OppoLzER, Ueber die Kriterien des Vorhandenseins dreier Lósungen bei dem Kometen-
probleme. Sitzungsber. d. K. Akademie der Wissenschaften (Math.-naturwiss. Classe), Jahrg. 1882,
pag. 885 ff.
33*
