Der Almagest des ProLEMAUS. 39 
gehórigen Bógen) und kónnen mit der bekannten mittleren Bewegung berechnet 
werden; die Winkel am Erdorte (4). Z(B), (B).E(C) unterscheiden sich von den 
wahren Bewegungen .4'EZ', B'EC' (der Planet wird ja in der Richtung Z? 
in C' gesehen) um die sehr kleinen Winkel (4).Z A', (B) B', (C)EC'. Ver- 
nachlässigt man diese in erster Linie und.setzt die Winkel (4) Z(B), (B) Z(C) 
gleich den aus den Beobachtungen zu entnehmenden wahren Bewegungen, so . 
kann man in Fig. 8 4 BC als den Aequanten, O als dessen Mittelpunkt und Z als 
den Erdort ansehen und erhàlt nach pag. 29 einen genáüherten Werth der 
Grosse und der Richtung von O,Z — 2e (Fig. 5b) Rechnet man nun hiermit 
nach den Formeln (2) und (3) den Winkel v, ferner wie z. B. aus dem Dreieck 
E O4(C) ersichtlich ist 
(C) E szn (C) EO, — A sin M, 
(C) E cos (COE O, — AR cos M 4- 2e 
für alle Beobachtungen, so erhált man den Winkel (C)EC' — (C) EO, — v, 
und wenn die wahren Bewegungen um diese Betráge corrigirt werden, so erhält 
man dann die richtigen Werthe der Winkel (4) E(2), (2) E(C), mit denen die 
Rechnung wiederholt werden kann. Ergeben sich nun von den früheren sehr 
verschiedene Werthe für O,Æ und den Winkel O,Z(C), so müsste man auch 
die Berechnung des Winkels (C).ZC' wiederholen. Diesen Vorgang, der auch 
bei anderen Fällen in der astronomischen Praxis auftritt, nennt man die »Rechnung 
durch successive Näherungen«. Den ersten genäherten Werth von 2e und v 
erhält man hier durch die Annahme (4) Æ(B), (B) Æ(C) gleich den wahren Be- 
wegungen; mit dieser »ersten Náherung« wird man die Werthe der Winkel 
(4) Z(B), (B)Æ(C) verbessern und erhält mit dieser zweiten Annahme die 
»zweite Náherung« u. s. w. 
Die Durchführbarkeit dieses Vorganges ist jedoch an eine Bedingung ge- 
bunden. Mit der Grösse 2e wächst auch die Grösse des Winkels QC E: und 
die des Winkels (C).EC'; aber man sieht, dass einer ziemlich grossen Aenderung 
von 2e eine nahe proportionale Veránderung von O,C'Z, aber nur eine sehr 
kleine Aenderung von (C).EC' entspricht). Dieses hüngt damit zusammen, dass 
sin (CYEC 1 5in 0, CE = (C) C: (C) E 
ist, und dass daher auch die Aenderungen von (C)ZC' gegenüber O,C'Z 
nur sehr klein werden. Der in der ersten oder doch wenigstens zweiten 
Näherung für 2«e erhaltene Werth von O,.Z wird daher schon ausreichend sein 
zu einer genügend richtigen Bestimmung von (C).ZC'. Würde sich aber z. B. 
ergeben haben, dass sich (C).EC' ebenso stark dndert wie O,C' E, d. h. würde 
jede Aenderung von O,C'E eine ebenso grosse Aenderung von (C)EC 
bewirken und umgekehrt, so würde man nie zu einem richtigen Werth von 
(C)EC' und daher ebensowenig zu einem richtigen Werth von O,.E kommen. 
In dem ersten, bei dem vorliegenden Beispiel stattfindenden Falle, sagt man, die 
Berechnung ist »convergent«, da man sich durch die aufeinander folgenden 
Náüherungen den wahren Werthen náhert; man sagt, sie ist um so rascher con- 
vergent, je rascher man den wahren Werth erreicht, und bei allen astro- 
nomischen Rechnungen, welche durch Nàáherungen geführt werden müssen, und 
deren wir in der Folge mehreren begegnen werden, muss man auf eine móg- 
lichst rasche Convergenz bedacht sein. Wenn man sich bei einer Aufgabe durch 
aufeinander folgende Náherungen der Wahrheit nicht nähern könnte, so sagt 
man, die Entwickelungen sind »divergent«. 
1) Dasselbe gilt natürlich auch von den beiden anderen Orten.