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Mechanik des Himmels. 5. 287 
Gleichungen der Reihe nach mit: D—75,-rx,0; D0, — =a, +n 
3) +2, 0, — x, und addirt die für die einzelnen Massenpunkte erhaltenen 
Produkte, so folgt: 
d? x, d y, 
Xm, (-» E + X zx) = 2(— Xy + Vx) 
  
d? y, diz, 
Xn, (- Z, dt? zy. E = X(— Va + 2) (1) 
2 2 
Zu, (- mA "E 5. =) = 3(— Zw + X 5). 
Mit Riicksicht auf die Gleichungen 8. 4 werden aber jetzt die rechten 
Seiten verschwinden, und da die linken Seiten vollständige Difterentiale sind, 
so erhält man durch einmalige Integration: 
dz, dy, 
2m fo 7-45) = 
dx, dz, 
Xn, (= "f = A) B (2) 
dy, dx, 
2m, Ca Ej vee C, 
Sind 7, / die Polarcoordinaten eines Punktes in einer Ebene, dessen recht- 
winklige Coordinaten »» z sind, sodass 
; 7 CoS | = m, PSinl=N 
ist, so findet man leicht 
dn dm 94 df 
mH vef; wm De 
dt dt dt dt 
wenn df das Element der von dem Radiusvector überstrichenen Fläche be- 
deutet. Werden nun fiir den Massenpunkt m, die Projectionen des Radius- 
vectors z, auf die Ebenen der Y-Z, X-Z, Z-X mit 7), 7", 2" und die von 
diesen Projectionen beschriebenen Winkel mit UV, UV", v," bezeichnet, so sind 
2dfi = 7,9 Zo; 247." — 7,2 d: di" = #18 da" 
die Projectionen der von dem Radiusvector 7, in der Zeit d/ beschriebene 
Elementarfláche (wobei nicht zu übersehen ist, dass der Radiusvector im Raume 
keine Ebene, sondern die Mantelflüche eines Kegels beschreibt), und man hat 
abe ut du Endf'={5dh = Emdf"" Cdt, (3) 
daher integrirt: 
mf! = LAt+ 4, Emf'' = iB. Imf! =LCe+Cy (4) 
welche Gleichungen zeigen, dass die Summe der Projectionen der sámmt- 
lichen, von den einzelnen Radienvectoren aller Massenpunkte des 
Systemes überstrichenen Mantelfláchen, auf eine beliebige Ebene 
im Raume genommen, der Zeit proportional wachsen. Diesen Satz 
nennt man das Princip der Erhaltung der Flächen, und die Constanten 4, 5, C 
die Constanten des Flichensatzes für die drei betrachteten Ebenen. 
Ueber den Anfangspunkt des Coordinatensystemes wurde keinerlei Voraus- 
setzung gemacht, man kann diesen daher auch in den gemeinsamen Schwer- 
punkt aller Massenpunkte verlegen, da die Bewegung aller Punkte des Systemes 
um diesen so erfolgt, als wenn dieser sich im Zustande absoluter Ruhe befinden 
würde (die Constanten ay, by, c4 in 4. 2 und 3 gleich Null). 
Für verschiedene Ebenen werden die Constanten 4, 2, C verschieden sein; 
da dieselben aber bei einer endlichen Anzahl von Kórpern nicht über alles Maass 
wachsen werden, so wird es nothwendig eine Ebene geben, bezüglich welcher