308 Mechanik des Himmels. 15. 
  
meinen Ausdruck X = f(M) zu finden, und ebenso gewisse Functionen des 
Radiusvectors und der wahren Anomalie direkt durch die mittlere Anomalie 
auszudrücken. Sei zunächst: 
+ co 
376" cos uM. (1) 
— 
sinmE = Istis 1 cosm E = 
Nach der Lehre von den Fourier’schen Reihen ist 
T 
She m asm atem Co) = 2 fos m.EcosvMdM. (2) 
0 
0 
Für ı= 0 erhält man sofort durch die Substitution von dM -—(1— E 
und Ausführung der Integration: 
SO = 0; SO = 0; CM = 2; CP = — ¢; (3) 
und S(9? — 0; C{ = 0 (für alle » mit Ausnahme von z — 0 und 1). 
Für beliebige t folgt durch partielle Integration 
3 9 M ; om 
s —_ guis sinmÆ| + Jaime mEdE fen mEdE 
0 t 0 
= = cos ı(E — esin E)cosmEdE 
d 
sm? fus [t + m) EX — evsin Ed E 4- = cos [((ı — m) E — evsin E]d E 
0 0 
und ebenso 
T 
ce = ze [G6 — m)E — evsin E]a £ — 2 [cos [(t + m)E — ersin EJdE. 
0 0 
Bezeichnet man nach BESSEL 
x 
1 
= cos [NE — x sin E|dE = J, 4) 
0 
so wird, ausgedrückt durch diese BEssEL'schen Functionen 
L772 Ft a 7 m t—271 LT 
se — =] Jem. j]; Co — 2] eom Jot jJ. (5) 
Um nun »#+t7cos mov und 77+x sin my durch E auszudrücken, wird man am 
kürzesten folgendermaassen verfahren. Sei 
b sing = a sin Q * lang g = OE 
(6) oder 1—acos Q (6a) 
peosg=1—acosQ ? — | — 2acos Q 4 a?, 
so erhält man durch Einführung der Exponentiellen mit imagináren Exponenten !), 
wenn /z — I ist: 
+29 — e-ig) — iQ /-0) +29 — ] — ae-Q 
DU ; e) e f ) d oder fe ; aor (7) 
P(etig+ e7i9) = 2 — a(etiQ+ e-iQ) perir= 1 — aetiQ 
folglich 
  
!) Die Einführung von e als Basis der natürlichen Logarithmen, kann zu Irrungen keinen 
Anlass geben; # bedeutet hier ebenfalls, wie leicht zu sehen, nicht den Parameter.