368 Mechanik des Himmels. 33. 
XX, + YYı-+ zz, ist darstellbar durch den Cosinus des Winkels I' zwischen den 
beiden Radienvectoren r und r. In allen Fállen, wo nicht auf die ursprünglichen 
Differentialgleichungen der Bewegung (4) (pag. 292) in rechtwinkligen Coordinaten 
zurückgegriffen wird, werden die Differentiationen nach x, y durch diejenigen nach 
den polaren Coordinaten oder den Elementen ersetzt; hingegen wird häufig die 
dritte Differentialgleichung, nach z, beibehalten, da z selbst als Störung aufgefasst 
werden kann, wenn man die ungestörte Bahnebene als Fundamentalebene 
wählt. Da dann Differentiationen nach z auftreten, so muss z explicite bei- 
behalten werden. Aus diesem Grunde wurde auch r an Stelle von 7 eingeführt. 
Da aber: 
XX + VV, d- 22, — rr. eos T — C, (3) 
1st, wobei {, eine noch zu bestimmende Grosse ist, so wird 
72 =r? +12 — 2rr,cos T + 22 + 52 + 20. (4) 
Hierin tritt zunächst der Ausdruck 
Tor = r? + n? — 9rrecos 1 
auf; in diesem kann man schreiben: 
‚Art, 
= (T2 dt er WT. 
ro? ==(r? + r2) | rc cos 1 | 
Setzt man daher 
2rr 
EIRE AU HN 
Ü 
= J, 
so würde 
x = 1 (1 — ôcos T)- 3- 
Die Entwickelung dieses Ausdruckes hat keine Schwierigkeiten und kännte 
nach dem in 15 eingeschlagenen Wege durchgeführt werden. Allein es ist zu 
beachten, dass r und r, nicht constant sind; ist: 
r — a(l + 6); r.= a(l + a), 
wobei a, @ die Halbaxen sind, so werden o, c, von den Excentricitáten der 
Bahn und von den mittleren Anomalien abhüngen, überdiess aber, da für r, r 
die gestórten Werthe zu setzen sind, bei der Berücksichtigung der Stórungen 
hóherer Ordnung der Massen, die Stórungen enthalten. Dann wird: 
2aa,(1 + o)(1 + c) 
a?(1 + c)? -- a? (1 + 9)? 
20 a?c 4- a,?6, a?s2 + 226271 
Tal a? + a? a? + a? | 
Die angeführte Formel wird daher nur dann vortheilhaft, wenn man die 
Stórungen nur mif Rücksicht auf die ersten Potenzen der Massen berechnen 
will (co, o. von den Störungen unabhängig) und überdiess die höheren Potenzen 
der Excentricität vernachlässigt. Thatsächlich tritt diese Entwickelung nur in 
den ersten Arbeiten und auch da nur in vereinzelten Fällen auf, und man zog 
0 = 
  
  
(1 4- 6 2-6, 4- 00) ez 
; ; r r 
alsbald vor, Entwickelungen nach Potenzen des Verhältnisses = oder X vorzu- 
U 
nehmen, je nachdem r, =r ist. 
1) Sei r « r, d. h. der gestórte Planet ein innerer. Dann wird: 
r 
ro? = r?|1 — 2a cos T -- a?]; mr: (5a) 
2) Sei r > r,, d. h. der gestorte Planet ein dusserer. Dann wird: 
I 
rg? — r?[1 — 2a cos U 4- a?]; dece 
(5b)