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verschieden sein können, so wird man bei der Berechnung der Störungen mit 
verschiedenen Elementensystemen Fehler begehen, die von der zweiten Ordnung 
der störenden Massen sind, welche sich aber bei genügend weit getriebener 
Annäherung ausgleichen müssen, da ja die Störungen, welche Elemente immer 
für die Bewegung derselben zu Grunde gelegt werden, durch die gegenseitige 
Lage der Himmelskórper eindeutig bestimmt sind. Ein Unterschied kann nur 
in den Werthen der Integrationsconstanten liegen. 
Diese sind stets sechs an Zahl. Sie sind entweder selbst Incremente (Ver- 
besserungen) der zu Grunde gelegten Elemente, oder sie sind Functionen dieser 
Incremente. Bestimmt man die Integrationsconstanten so, dass die Stórungen 
für eine gewisse Epoche verschwinden, so werden die aus denselben sich er- 
gebenden Elemente fiir diese Epoche osculiren. Natürlich werden die osculiren- 
den Elemente successiv erhalten, denn jede weitere Náherung bringt Correctionen is 
der Elemente, welche bezw. von der ersten, zweiten, dritten . . . Potenz der welche 
störenden Massen sind. 
An Stelle der osculirenden Elemente, welche sich der Definition nach nur 
für eine gewisse Epoche der Bewegung möglichst nahe anschliessen, wird es 
besser mittlere Elemente einzuführen, welche dahin definirt werden, 
dass sie zwischen den überhaupt möglichen Grenzen der osculiren- 
den Elemente in der Mitte liegen. Für diese werden daher die Störungen 
zu beiden Seiten gleichmässig, daher, absolut genommen, kleiner, als unter 
Zugrundelegung irgend welcher osculirender Elemente: Daraus folgt, dass in 
den Ausdrücken für die Störungen jene Glieder, welche die grössten periodischen 
Störungen erzeugen, für mittlere Elemente verschwinden müssen. Nun bilden 
die Störungen Reihen, in denen die von cos E, sin E, cos 9.E, sin2FE . . . ab- 
hàángigen Glieder immer kleinere Coéfficienten erhalten; die gróssten Coëfficienten F mig 
erhalten in den Ausdrücken für v und x diejenigen Glieder, die von sin Æ und cos Æ | 
abhängen; setzt man deren Coéfficienten gleich Null, so werden die absoluten 
Beträge der Stôrungen nunmehr den Maximalwerth der Coéfficienten der náchsten 
Glieder erreichen, daher die gestellte Bedingung für die mittleren Elemente er- 
füllt). Damit sind dann die mittleren Werthe für §, Z, e, «, festgelegt, wobei 
aber noch zu erwähnen ist, dass der analytische Ausdruck dieser mittleren 
Elemente noch seculare Glieder enthilt, also & = §, + X u. s. w. und daher 
irgend ein System numerischer Werthe derselben sich auf eine gewisse Epoche bezieht. - 
Der mittlere Werth der mittleren Bewegung wg ist selbstverstándlich derjenige, i 
bei welchem in den Störungen der Länge keine von der Zeit abhängigen Glieder dé 
auftreten. Er ist also p + À = (p.) (Vergl. No. 43) und stimmt mit dem aus den zn 
Beobachtungen sehr langer Zeitráume erhaltenen wahren Werthe der mittleren dy 
Bewegung (überein. Hierzu tritt dann noch in der mittleren Länge ein dem 
Quadrate der Zeit proportionales Glied, die Secularänderung der mittleren Länge ?). 
!) Bd. 6, pag. 9o. Eigentlich ist die Aufgabe ein Problem des Maximums und Minimums; 
denn es kann ganz wohl vorkommen, dass die Störungen noch geringer werden, wenn die en 
Coéfficienten von sin E, cos E in den beiden Ausdrücken für v und z sehr kleine, aber endliche, 
nicht verschwindende Werthe erreichen. Die Bestimmung dieses Minimums wäre eine etwas 
complicirtere, dabei aber im Grunde unnöthige Aufgabe; die HANSEN’sche Methode läuft auf die 
Definition hinaus: Mittlere Elemente sind jene, in welchen die auftretenden Störungen von der 
zweiten Ordnung der kleinen Parameter werden. 
?) Hansen, Bd. 6, pag. 122: Ueber die Verwandlung der von osculirenden Elementen ab- 
hängigen Störungen in solche, die von mittleren Elementen abhàüngen, vergl HANSEN, Bd. 7, 
pag. 308. gest