542 Mechanik des Himmels. 84. 
hat man die Summen der für die einzelnen Massen gültigen Ausdrücke zu 
bilden): 
RS fen) 0 
  
  
  
  
  
Es ist aber 
ofi ] o4 2-0 02 (1 1 3 (x — t£) 
RN 
Führt man nun für eine beliebige Function # die Bezeichnung ein 
= EL 02 F 02 F 
AF = sn -- On? + 2:5 (3) 
so wird : 
avc ff f f2axavas o 2). 
Es ist aber 
1 3 2 2 2 
demnach 
AP -—O (4) 
die LAPLACE'sche Gleichung. Es ist jedoch nicht zu übersehen, dass hierbei 
vorausgesetzt wurde, dass kein Element des Integrals unendlich wird, d. h. dass 
nirgend z — 0 wird. Die Beziehung (4) gilt daher nur für den Fall, dass der 
angezogene Punkt ein áusserer ist, d.h. nicht selbst der anziehenden Masse angehort. 
Für einen inneren Punkt, d. i. für einen solchen, der innerhalb der anziehenden 
Masse liegt, würde für einzelne Elemente des Integrals # = 0, und es ist zu 
untersuchen, ob die Gleichung (4) auch für diesen Fall noch gültig bleibt, oder 
was an ihre Stelle tritt. 
In der Form 79 (2a) ist aber nicht einmal ersichtlich, dass das Potential 
und seine Differentialquotienten endliche, bestimmte Werthe haben, da schon in 
dem Potential ein Element des Integrales unendlich wird; legt man aber wieder 
ein Polarcoordinatensystem zu Grunde, dessen Ursprung im angezogenen Punkt 
ist, so wird 
9 » 
vfff* ET - [ [ f: . u sinO dO do du. 
Für das Potential selbst wird also die zu integrirende Function auch für 
innere Punkte nicht unendlich, sondern für # == 0, Null; das Potential hat daher 
einen endlichen, bestimmten Werth. Der erste Differentialquotient des Potentials 
wird, wenn man unter dem Integralzeichen differenzirt: 
as Sf Sent 
3p 
E feret (6) 
demnach die zu integrirende Function wieder für keinen Punkt (auch nicbt für 
den angezogenen Punkt) unendlich; es behalten demnach auch die ersten 
Differentialquotienten, d. h. die Darstellungen der Kráfte in dieser Form, ihre 
Gültigkeit. Der zweite Differentialquotient wird nach (1) und (2): 
s = — ff fees S DAE (i — 30520).