Mechanik des Himmels, 84\ ; 543
Die zu integrirende Function wird für # = 0 unendlich. Nichts desto
weniger wird aber das Integral selbst nicht unendlich. Um dies zu zeigen, und
gleichzeitig seinen Werth auszumitteln, werde das Potential nach 79 (3) in zwei
Theile zerlegt, indem man um den Massenpunkt ein gewisses Volumen 7, so
ausschliesst, dass fiir das tibrige Volumen v, der Punkt zs, ein àusserer wird;
es wird daher A 7, — 0, und demnach
Wahlt man für das Volumen 2, ein solches, für welches sich 7, leicht
auswerthen lásst, so kónnen die zweiten Differentialquotienten aus dem berechneten
Werthe von 7, gebildet werden; für v4 soll nun eine um z4 concentrische
Kugel Æ vom Halbmesser a genommen werden. Setzt man die Dichte derselben
constant gleich 8 voraus!) so wird das Potential auf einen Punkt im inneren
derselben im Abstande p vom Mittelpunkte nach 80 (9):
Y
; V, — 2x02? — 2n0-p?,
und es wird:
0? V. 02 (o2) =
sœ = #70 TET daher À V, = — 2 73 - À (p?).
Nun ist
pi = 22 +12 4-2,
folglich
9 (p?) Un orn Oe 6? (p?) 6? (p?)
DE 229517725 à ER = 2 51? = Zz, jn = 2
demnach A(p?) — 6 unabhángig von p, daher A, — — 4x6. Folglich wird
A V - — 4n6. (7)
Dabei ist 8 die Dichte der (unendlich) kleinen Kugel um 74, d. h. die
Dichte in diesem Punkte selbst. Die Gleichung (7), welche von PoissoN ge-
funden wurde, ist eine Erweiterung der Gleichung (4), enthält aber diese als
speziellen Fall, denn íür Punkte, welche dem Massencomplexe nicht angehóren,
ist $ — 0.
Führt man die Polarcoordinaten z, 9, w ein?) so geht die Gleichung (7)
über in
0? PF eV 1] FP ur,
e acr i. VER RAT a
Far +O 3p + ue le re T0, (8)
oder wenn p = cos © gesetzt wird:
0 ov ] GEN 6? (r V)
SEN) 7. E cups = — :
f lo pe) met Jw? ur ds? (9)
!) Bei nicht constanter Dichte wird man dieselbe nicht als concentrisch geschichtet ansehen
können, sondern die Schichten werden die kleine Kugel in nahe parallelen Niveauflächen durch-
setzen ; die Resultate bleiben jedoch auch in diesem Falle dieselben, wie schon daraus hervor-
geht, dass man cie Kugel immer so klein wählen kann, dass innerhalb derselben die Dichte als
constant betrachtet werden kann. Für strenge Beweise s. ausführliche Lehrbücher der Potential-
theorie z. B. NEUMANN, »Vorlesungen über das Potential«.
ur pd OVGr cereo cVew Cr ce sin ©
2) Es ist — = — — Ce — — Und da z— - 058, — = — 2
ex 6x e0o0x Co6x 6x 6x 7
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— zm ( ist, so wird — = dos 6 — — M uU. $. Ww
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