Interpolation. 
So entsteht folgende Uebersicht: 
Argument Hauptfunction I. Differenz IL Differenz III Differenz IV. Differenz 
&—9o = f(a — 3) 
f —8 
à — 90€ J(a — 2) f'(a — 3) f" (a — 2) Ja 3) 
à — o f(a — 1) f" (a — 1) 2 FN 4) 
f (a — $) f" (a — 1) 
a J(a) 2 J" (a) V 2. f(a) 
J (a 4 1) n f" (a == 3) 
a+ ® Ja -- 1) f(a + 3) X (a = 1) a 4 3) JF" (a + 1) 
a+ 20 fla + 2) a + 3) F'a+2 Y 
a+ 3w f(a + 3) â 
Es stehen also hier immer die geraden Differenzen mit gleichen Ausdrücken 
im Functionszeichen auf gleichen Linien, die ungeraden Differenzen mit gleichen 
Ausdrücken im Functionszeichen zwischen den Zeilen der Functionswerthe. 
Nach dem TayLor’schen Lehrsatz ist 
fla + no) = f(a) + ano + Bn2o? + 12593 + . . . 
Nun sind uns aber die Difterentialquotienten nicht bekannt, sondern nur die 
Differenzen der Functionswerthe, wonach wir haben 
f(a + no) = f(a) + 4Af' (a + 3) + Bf" (a + 1) + 
Setzen wir nun aber für z die verschiedenen Werthe, 0, 1, 2, 3 . . . ein, 
so haben wir in der TAvron'schen Reihe 
f(a) = (a) 
fa + 0) = f(a) + ao + Bo? + yo? + . . 
fla + 20) = f(a) + 200 + 4802 + 870? + . . 
f(a + 80) = f(a) + 3aw + Iw? + 27708 + . . 
u. s. w., andererseits ist 
tür Argument (2 4- o) Sa + e) — (a) + f" (a + 3) 
(@ +20) /(a-r 2) -—/f(2)-r/f'(a--$--fG--3 
= fa) -- 2/'(a + 3) - f" (a o 1) 
(a +30) f(a + 30) —/ (2) 4-3/' (a-- 3)4- 3/ (a +1)+/ "(a +3) 
u. S. W. 
Hieraus findet sich 
1) 7'(@ + #) = ao + Bo? + 1o? 
2) 2/'(a + 3) +7" (a + 1) = 200 + 480? + 8703 
3) 3/'(a -- 4) + 3/"(a + 1) +7/"(@ + 3) = 3ao + 980? + 27708. 
Multipliciren wir Gleichung 1 mit 3, Gl. 2 mit — 3, Gl. 3 mit 1 und addiren, 
so kommt - 
yo? — "(a 4- 8) 
ebenso, wenn wir Gl. 1 mit 5, Gl. 2 mit — 4, Gl. 3 mit 1 multipliciren und 
addiren 
los 4/ an 17 4/16 48) 
und, wenn wir Gl. 1 mit 9, Gl. 3 mit — 44, Gl. 3 mit 1 multipliciren und 
addiren 
«o — f'(a 4- 3) — $/" (a +1) +4" @ 3). 
Setzen wir diese Werthe von aw, Bw?, yo“ in die Tayror'sche Reihe ein, 
so kommt 
; zn(n-—41)., 
f(a - no) = (0) + nf (a - 3) -- 5 f" (a -- 1) + 
zd m. 1 
N Dt, m