Mechanik des Himmels. 102.
dim LE
+ Ve — x sin* u
Hieraus folgt nun, dass z bestündig wüchst, wenn x entweder negativ ist,
oder positiv und kleiner als c3). Da aber der Mond uns stets dieselbe Seite zu-
wendet, so kann dieses nicht der Fall der Natur sein. Es muss also x > ¢
sein, in welchem Falle eine oscillirende Bewegung stattfindet (vergl. auch No. 66)
und zwar um z — 0 oder 180°; die Beobachtungen zeigen das erstere, womit
also zunáchst dargethan ist, dass in (4) der Winkel z, welcher die Abweichung
der selenocentrischen Richtung nach 2 (gegen die Erde) von derjenigen gegen
(X^) (die Haupttrágheitsaxe) darstellt; nur um periodisch wachsende und ab-
nehmende Betráge variiren kann. Für diesen Fall lässt sich die Integration ohne
Zurückführung auf elliptische Functionen durchführen. Da iiberdiess in (7) auch
die Ungleichheiten der Mondbewegung nur sehr klein sind, so kann in dieser
Gleichung statt des Nenners p die Einheit und statt des sin der Bogen gesetzt
werden und man erhält
2 19 12
ii + ei 1% == Ed ii V2 ks sin (xt + K)). (9)
Das Integral dieser Differentialgleichung, wenn die rechte Seite Null ist, ist
u = asin(mt + A), wobei a, A Constante sind, dann folgt
Hieraus folgt, dass y positiv, d. h. B> À sein muss. A4 ist aber das
Trägheitsmoment um die X-Axe, d. h. um die gegen die Erde zu gerichtete
Hauptträgheitsaxe; diese ist daher Axe des kleinsten Trägheitsmomentes. Setzt
man jetzt wieder das Integral der vollständigen Differentialgleichung (9) in der
Form voraus
Zz —
U = asin (s y 1:44 4) + 3Lsin (x;t + Kj, (10)
VI + vw"
wobei jedem Gliede der rechten Seite in (9) ein Zusatzglied in (10) entspricht,
so folgt in der bereits wiederholt erörterten Weise
8 Z'2
i f " 14;
7 79 £5 ; (102)
ja ptm
Der vollstindige Ausdruck von z wird daher
9772
1 = "PC 1;
u — a sin t a y31:£4 4) + > ES sin (x2 + K). (l1)
II Ur x
Der erste Theil enthält die beiden willkürlichen Integrationsconstanten a, 4;
er wird aus diesem Grunde auch die »willkürliche Libration« genannt; der
zweite Theil hingegen ist eine nothwendige Folge der ungleichmissigen Bewegung
1) Da v je nach der Wahl der Haupttrügheitsaxen für diesen Fall positiv oder negativ
gewählt werden kann, so wird hierdurch das Integral scheinbar geändert; da aber gleichzeitig
die Grenzen und der Modul geändert werden, so kann daraus nicht geschlossen werden, dass
der Rotationszustand instabil wäre. Doch gehören die weiteren Ausführungen in die Theorie
der Transformation der elliptischen Functionen.
