Interpolation. 43 
welche Formel die NewTon’sche Interpolationsformel ist, und aus der sich andere 
Formeln, die zur Berechnung besonders in speciellen Fällen bequemer sind, 
ohne Mühe herleiten. 
Zunächst ist 
LFa+1) =" @ +7" a@+D 
f" (a 4- 8) — f" (a -r #) +7" (a + 1) u. s. w. 
Daraus wird na 
Jets) fun --np(a 4 4-7 os m 
2) 
nn WE 1) (2 + 1) " 1 n(n Si e + 1)(æ = n y. ( 
Ee gu MEE ioo 2, (2), 
wozu wir gleich hinzufügen, indem wir z negativ nehmen, und beachten, dass 
fa --3) — f — 9-9) 
JF" (a + 1) = j"(a — 4) + f" (a) 
  
u.s. W. ist 
  
flo = no) = =f DH sex 
7 72422 — 2 — (3) 
( rnm m ) guo o 1) + (2 4 Bee SIX 2) pim, 
Während also die Newron’sche Formel (1) die Difterenzen benutzt, die fort- 
laufend eine halbe Zeile tiefer stehen, verwendet die zweite Formel für die un- 
geraden Difterenzen, welche zwischen der Ausgangsfunction und der nächstfolgenden, 
also eine halbe Zeile tiefer, liegen, für die geraden Differenzen dagegen, die auf 
gleicher Zeile mit der Ausgangsfunction liegen. Wie die Formel (2) die vorwärts- 
schreitende, nach unten gehende (ungerade) Differenz verwendet, so die Formel (3) 
die rückwärts, nach oben gehende. Bei beiden Formeln kommen also die 
Functionswerthe zur Verwendung, welche dem, von dem man ausgeht, voraufgehen 
und folgen, während in der NEwron’schen nur die folgenden gebraucht werden. 
Was den Vortheil der Benutzung von (2) und (3) betrifft, so wird man (2) annehmen, 
wenn der gesuchte Werth náher an z als an 4 + w liegt, (3) im entgegengesetzten 
Fall, da dann beide Male # < À ist. 
Die Formel (3) lässt sich auch so schreiben 
us m +z 1) 
  
fla + nw) = f(a) -- nf'(a — #) + mar 
(4) 
2 (72 9) (2 a 
rr enn Tee pac D pg) v.s v 
Nehmen wir aus (2) und (4) das arithmetische Mittel und setzen 
Frey == Slee ob du) + file = Ju, 
fa = 7100) z= fla) + nf! (a) + Fi fin ) Ui D^ e D ) (a) + 
(5) 
(n + 1?» — 1) nn 
arte 
Setzen wir in (2) z — 4, so kommt 
fa + 40) — (2) - M (e 9—87" (0 — ds" (67 9) m id OF 
und ebenso in (3), wenn man von (4 + «w) ausgeht 
f(a4-49) — f (2) —4/' (a4-3)— 47" (677 ) - d" (a7) ds / U EA 
und das Mittel aus diesen beiden Gleichungen giebt 
fa + 4e) — / (a -- 3) — 4 (a + 3 9- cis" (o 7-3 — cda "(6 + D), (©) 
so kommt