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Methode der kleinsten Quadrate. 59 
zu ermitteln, wobei Y eine beobachtete Grösse ist; seien P, Fa Va. die 
einzelnen Beobachtungen, z4,, 75, 74 ... die Werthe der Function / für die 
angenommenen genäherten Werthe xo: Jor 7g =i 
V. — m, = n, 
so hat man die Bestimmungsgleichungen für die x, y, 2 .. . in der linearen Form 
2g, — aux by + cz +... (1a) 
und den Fehler dieser Bestimmungsgleichungen 
n=4x+hy+a+t+....—-# (2) 
Sind die Gleichungen auf die Fehlereinheit reducirt, so wird die Summe der 
Fehlerquadrate 
2 == [v9] 
zu einem Minimum zu machen sein, wozu erforderlich ist, dass 
0X 0X 02 
bi ues TE T0 (3) 
wird. Hier sind nun aber die x, y, z . . . nicht von einander unabhängig, 
sondern gewissen theoretischen Bedingungen unterworfen, die sich durch die 
Bedingungsgleichungen 
I 
oc Y, 2...) 
ue 52...) 
yx Y, Z.. (4) 
I 
| 
eoo 
ausdrücken lassen. Der natürlichste Weg scheint derjenige zu sein, aus diesen 
Bedingungsgleichungen so viele Unbekannte zu bestimmen, als Bedingungs- 
gleichungen gegeben sind, welche sich demnach als Functionen der übrigen 
darstellen, diese in die Gleichungen (12) zu substituiren, wodurch die noch übrig- 
bleibenden Unbekannten von einander unabhängig sind, und die Aufgabe auf 
die frühere reducirt erscheint. Die Auflösung wird aber in dieser Form un- 
möglich, wenn die Bedingungsgleichungen nicht leicht lósbar (z. B. transcendent) 
sind. Einfacher wird es daher, wenn man aus den Bedingungsgleichungen (4) 
die Beziehungen zwischen den Differentialen der Unbekannten aufstellt, und diese 
mit unbestimmten Coëfficienten Æ,, Æ,, Æ3 . . . multiplicirt, zu (3) addirt. Man 
hat aus (4), indem dX = dx, dY = dy, dZ = dz . . . ist: 
an 72 dy + 2% az + er a =0 
Mawr Daye Fas =o (5) 
4 an + Fay + Fa + = 0 
S SIS eS eoa : deis egy hy +. lo 
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Erm Erna Me WE i e 
Ist » die Zahl der Unbekannten und s die Zahl der Bedingungsgleichungen, 
so sind s von den Coéfficienten gleich Null zu setzen, hiernach Æ,, Æ9, Æ3 - 
zu bestimmen, diese in die » — s übrigen Co&fficienten zu substituiren, welche 
jetzt von einander unabhängig sind, und daher für sich verschwinden müssen.