Methode der kleinsten Quadrate. 
Dieses sind s Gleichungen mit den s Unbekannten KV) Sind diese er- 
mittelt, so giebt ihre Substitution in die Gleichung (9) sofort die Werthe der 
Unbekannten x, y, z . . . 
Beispiel: Es sollen die Unbekannten aus direkten Beobachtungen gefunden 
werden, wenn zwischen den letzteren Bedingungsgleichungen bestehen, ein Fall, der 
bei den geodätischen Vermessungen (direkte Messung von Winkeln, welche 
Dreiecken oder Vielecken angehôren, oder die einen Horizontabschluss bilden) 
vorkommt. Die Gleichungen (1) werden dann: 
AS, VE ZEIT. 
Die beobachteten Werthe V,, Va» V3 ... konnen direkt als die genäher- 
ten Werthe angesehen werden; die m, d. i. die Werthe der Functionen für 
die angenommenen Näherungen, werden daher ebenfalls identisch mit den 7; 
folglich wird 
Mh EWR V ER 
und die in den Gleichungen (la) auftretenden x, y, z . . . sind die an die 
Näherungen Z7, \ Vy, Vo... anzubringenden Correctionen. Da die Gleichungen 
(la) bereits auf die Gewichtseinheit reducirt gedacht waren, so müssen sie mit 
den bezüglichen Gewichten der V angeschrieben werden, und sind daher: 
Yh5—9 Vhy=0  yfns-0... 
Wobei P1, fa, $4 . .. bezw. die Gewichte von Poo Vo, Va... Sind. Wären 
keine Bedingungsgleichungen gegeben, so wáren auch x — 0, y — 0, z — 0 die 
wahrscheinlichsten Werthe der Correctionen; wenn aber die angenommenen 
Naherungen P, P, PF. ... die Bedingungsgleichungen (4) nicht erfüllen, so 
werden Po» Vos Xp . . . nicht gleich Null sein und die wahrscheinlichsten Werthe 
der x, y, 2 . . . sind nicht mehr Null, sondern die Bedingungsgleichungen (4) 
müssen unter allen Umstünden strenge erfüllt werden. Man hat daher: 
!) Die Determinante ist, wie man sieht, das Produkt der beiden Matricen: 
  
= 0,0,0,.... P1 Pa P3 
CE C $150; . 
| X, X, X, 
  
Xa Xa Xs 4 
welche je 7 Columnen und s Zeilen haben, und daher als (^) Produkte von je zwei Determi- 
nanten ster Ordnung ausdrückbar sind, von denen die eine der ersten, die zweite der zweiten 
Matrix entnommen ist, und zwar denselben Columnen. Die Benutzung dieser Darstellung 
hat vielleicht manche Vortheile, da, abgesehen von den Gliedern Por Yo Yo - y bei den 
Zählern der Unbekannten dieselbe Zerlegung möglich ist, und bei jeder Unbekannten an Stelle 
einer der Zeilen der zweiten Matrix die Summen [az] [éz] [em]. .. treten. Es wird z. B. 
9 : 
K, um 3 ) 
wobei 3, durch das Produkt der beiden Matricen darstellbar ist: 
$ m $01.06, 7... a Qu 0203 «* ( 
VIT... [a] [67] [cn] 
X,X,X5 .... Milals ++ +++» 
  
wo also die sámmtlichen (;) Determinanten der ersten Matrix dieselben bleiben. Por Yor Xo 
kann man aber jeder Zeit gleich Null machen, wenn man für Xo! Jor 29 
unendlich vielen Lósungssysteme treten lüsst, welche die Gleichungen (4) erfüllen. 
. . eines der 
  
     
   
  
   
    
    
     
     
     
  
    
   
      
    
    
   
   
   
    
    
    
   
    
   
  
a, == 
Ag = 
durc| 
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laut: