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Drittes Kapitel. 
nom P besitzt diese Eigenschaft nur in dem Falle p — 4? -J- 1, 
lind folglich ist dasselbe mit der Function 2 P — Q der Fall. 
Wenn p — 4t -f- 3 ist, so sind die Coefficienten der von den 
Enden gleich weit entfernten Terme der Function 2 P — Q ein 
ander entgegengesetzt gleich. In der That sind dann die Coeffi- 
~ : — k 
cienten von x 2 und x k in der Function 2 P— Q 
2 m k — n k und n k — 2 m k . 
Um die Werthe der Coefficienten A 2 , A. a , .. . von X { zu erhal 
ten, nehmen wir an, es sei X eine der Zahlen 
1,2 ,3,..., (/> — 1), 
und h ein ganzer Exponent, für welchen 
a /l = X (mod. p) 
ist. Endlich bezeichnen wir noch mit S x die Summe der A. ten Po 
tenzen der Wurzeln der Gleichung X i = 0. Dann ergiebt sich 
S — r a h + <i _J_ r a ,l + i: _|_ . . . | r a h +P—^ 
und daraus geht hervor, dass S x — y i ist, wenn h gerade, d. h. 
wenn X quadratischer Rest von p ist. Dagegen ist S x = y 2 
oder gleich — 1 — y { , wenn h ungerade, d. h. wenn X quadra 
tischer Nichtrest von p ist. Auf diese Weise lernen wir die Sum 
men der gleichen Potenzen der Wurzeln von (6) kennen, und 
die Coefficienten A 2 , A s , ... lassen sich darauf mittels der For 
meln 
s i — V\ = 
$2 V\ + 2 A 2 — 0, 
Sj — U\ S 2 —(— 2 A 2 8, -|— SA^ = 0, 
berechnen. Wir können danach A k durch eine ganze Function 
von y, ausdrücken und diese Function durch Anwendung der 
Gleichung (5) linear machen. 
538. Die vorstehende Entwicklung führt zu einem wichti 
gen Satze, den wir nicht übergehen dürfen. 
Wir wenden uns wieder zu der oben erhaltenen Gleichung 
Verwandelt man ?/, in y 2 , so folgt 
= * + O P 2 •