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modele 
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7. On 
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ques. 
image 
1 a le 
(7) 
essif 
forme 
(8) 
la 
© = (x >’ œ ’ œ 3, c ); 
2 3 4 
o (x X X 
k-1 k-1'5 KEN EN N ) à 
et Uy. pour k - 2,3,...,M-:N-1, est une suite de 
variables aléatoires indépendantes et de méme 
loi N(0,c?). 
u 
3.3.Estimation des paramétres: 
3.3.1.Estimation des paramétres par la méthode 
des moindres carrés généralisés: (Box, 1970) 
On veut estimer 0 et la variance o? du bruit 
u 
blanc u On utilise la méthode des moindres 
carrés ordinaires. 
t 
ze) = (5 x -o-z. 9 PP 
= 
(9) 
où P={2N+1,2N+2,...,M-N-1} € P={1,2,...,M-N} 
Dans l’équation (7) on veut trouver © et o* tels 
que l'erreur quatratique I(8) soit minimum. 
(10) 
I(@) e nin Y ( x, -te -z, ) ) 
P 
: > 2 : 
On veut estimer © et la variance e. du bruit 
blanc u, On utilisera la méthodes des moîndres 
carrés ordinaires. Dans l’équation (10) on veut 
trouver © et Te tels que l'erreur quatratique 
I(e) soit minimum. 
Dans ce qui suit la somme est prise sur un 
ensemble d’entiers que l’on définera selon les 
conditions initiales. 
On pose: 
P = [1,M) x [1,N], et P est l’ensemble 
maximal contenu dans P tel que : 
PB + { (mn) } SP; mn € Z 
En dérivant I(e) par rapport à«, «, « et «, 
on abouti au systéme : 
all tein foi = mln, sal, =k 
Co 2 N-2 3 N-1 4 N 1 
C =f aù al = C 
+ N-2 a 0 3 1 4 2 N-1 
E t neut e C. ioc PRE 
--1 N-1 2 1 3 0 4 1 N 
de u = C 
3. N 2.2 3 1 4 0 N+1 
ou C = + X-X ; ieZ et K-M-N. 
i K k k-i 
k€P 
sont les autocovariances empiriques. 
En résolvant ce systéme nous avons la valeur 
estimée de Resi : 
i 1 
X = d (11) 
X oj X } 8 it ak, jet 
k=0 1=-1 
Avec (k,1)=(0,0) et (k,1)#(0,-1) 
369 
3.3.2.Estimation des paramètres par la méthode 
de Whittle (Whittle, 1954, Guyon, 1975) 
Dans ce cas, on part de la densité spectrale 
du processus X, 
f(A,u)z o* [1 = d er On) [7 
(k,1)€V 
k (12) 
oü. V ((0,19, (1, 19, (1,00, (1,1). 
Posons « -d , « =d 
, &= d 
m 2 :1,-1 
, « -d 
3 1,0 
La log-vraisemblance est alors (Khodja, 1992): 
1A 
N 
N- (log Fe A ((1*a2«a2«o24 a? )€ 
Cr oo 122 3 4% 
u 
0 
* 2(« « *« « -a )C * 2(« « -a )C 
2.3.34 10,1 3 à 3 1,0 
+ 
2(x œ -œ )C + 20 «a C - 20 Ë 
13 2 7, -1 2 4 0,2 à 1,1 
+ 20x C 33. 
Où C ; sont les autocovariances empiriques 
> 
définies par : 
e = 
d E 55K -card(P). 
s ij itk, jl 
=. + 
i,j eP ? 34 
i+m, j+n EP 
Et pour estimer les paramétres du modéle, on 
ily W adi 
maximise Ly c'est-à-dire : 
W 
aL. 
a: 0; pour i=1i,2,3,4. 
i 
^ ^ + ^ ^2 
On trouve à, «4. oo, « st 6. 
1 2 3 4 u 
3.4.Les modéles autorégressifs bilatéraux. 
-1 j+1 
  
fig.4 
Nous allons utiliser les modèles 
autorégressifs bilatéraux pour estimer le niveau 
de luminance X, 1 d'une image donnée. 
, 
m n 
Nl = d i X kid * ei (13) 
k=-m 1=-n 
(k,1)2(0,0) et m,ne Z. 
L'erreur entre la valeur courante X. et la 
valeur estimée X est : 
m n. > 
eur (d T da T inii (12) 
(k,1)=(0,0) et m,ne Z. 
Les d 1 sont calculés en  minimisant 
l'expression :