n 
s-) jt, = Y y aai) (15) 
P 
k=-m 1=-n 
(k,1)=(0,0) et m,ne Z. 
es en 
d^ pour tout m,n. (16) 
m,n 
Des formules (15) et (16) nous obtenons la 
relation (17) : 
m n 
~ ~ 
d = : 
k, 1 ren ten C n : (17) 
k=-m 1=-n 
(k,1)#(0,0) et m,ne Z. Pour tout m, n e Z, les 
C 1 sont les fonctions d'autocorrélation du 
processus (X, 9. Dans l'équation (17) les d. 
> 
sont les inconnues; (17) est un système linéaire 
de m équations à n inconnues. 
Soit d, , les solutions de (17) l'estimateur 
S'écrit alors : 
= m n 
Ress :L 14.4 21" (18) 
i k. 1 
3 un 15e 1 rR, ge 
(k, 1)*(0,0) et m,ne Z. 
La valeur minimum de S est, dans ce cas, égale à 
m n 
~ 
o zt - d C (19) 
min 0,0 k,1 k, 1 
k=-m 1=-n 
Remplaçons dans (13) d. i par d, i nous obtenons 
X = d X + e (20) 
1,3 x,L i-k,j-l 1,J 
k=-m 1=-n 
et E(e? ) S. »c* (21) 
1,1 min e 
On suppose que Xx, représente la valeur 
J 
radiométrique du pixel de coordonnées (i,j). Ce 
modèle pour le traitement d’image est basé sur 
le fait que la variable aléatoire, X, j^ est 
corrélée avec ses plus proches (pixels) voisins. 
3.4.1.Le modéle bilatéral aux quatre voisins : 
-1 +] ... 
i=} 
irl 
  
fig.5 
En résolvant l'équation (17) pour ms1 et nz1, 
nous trouvons : 
X = ax 
1 
+ ex + a X + a X 
15] 1531-1 2. 1-1, j 3 1,J*1 4 1+1, 3 
+ Be, , (22) 
Nous obtenons : 
p..(1.+p ,) ~2p. P 
PE 01 02 11 e (23) 
au Pan) (1 " Pag) "^p 
  
370 
PAUL pe Zw 
a, = 0 = 10 02 11 is (24) 
(1 + Pan) (1 + Boz) - 4 P 
  
Uo 
il 
a = 2(x r + ar ) I (25) 
3.4.2.Le modéle bilatéral aux huit voisins 
(fig.4): 
Le modéle s'écrit : 
1 4 
= + 
X, d i A ek pd e (26) 
k--1 12-1 
(k,1)#(0,0) 
L'image estimée est représenté par le 
modèle : 
m n 
Rol = ) ) d, X kde (27) 
k=-m 1--n 
(k,1)#(0,0) 
3.5.Etalement dynamique : 
Parmi les valeurs estimées, certaines sont 
négatives; pour cela nous faisons la 
transformation suivante : 
x 3 > X in 
Y = d TX 255. 
max min 
où X ^ max( X, 2 et x z min( X, J) pour 
isf,...M ot j-1,...;N. 
4. ANALYSE DES RESIDUS. 
4.1.Introduction : 
Si on se référe à une structure probablliste, 
on attend des résidus, dans le cas où le modèle 
posé est correct, qu'ils se comportent 
sensiblement comme des erreurs observées. Les 
graphiques permettent de vérifier la 
compatibilité avec les hypothéses usuelles: 
(1) : E(e,) = 0 
(2) : Var(e,) = Var(X,) = 0% 
(3) : e, suit une loi normale N(0,02). 
Dans la pratique, on ne connait pas les €, 
aussi, dans un test de "non-corrélation des 
erreurs", on devra nécessairement utiliser les 
résidus €, 
4.2.Procédure de Durbin-Watson (Brenot, 1975). 
Pour vérifier l'hypothése de "non-corrélation 
des erreurs" on peut considérer les erreurs 
€ > oe suivant la ligne i, et 
1,2 1,n 
£ ze 0004 76 
suivant la colonne j. 
2,] m, J 
Notons dw(l) la statistique de Von Neumann 
suivant les lignes et dw(c) celle suivant les 
colonnes. Nous avons les rapports de Von Neumann 
; 2 
(e - £ ) 
1=2 1,3 i-1,J 
m 
2 
y d 
i=1 3 
dw(1) = 
  
  
  
CO! 
Du. 
di: 
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SPOT 
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Nous 
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diff