28 -3k 
a = —2 (5.a) 
10e-12k 
2 
p. LE 6 (5.b) 
10e -12k 
2 
C= A é (5.c) 
10€-12k 
Ainsi, nous exprimons les coefficients du 
trinôme en fonction des caractéristiques de la 
distribution et, par conséquent, des moments de la 
distribution. 
1.2 Solutions de l'équation différentielle de 
K.Pearson 
1.2.1 Racines réelles de signe opposé. 
Soient XX, les racines du trinôme. Apres 
un changement d'origine, l'E.D.P. s'ecrit : 
Sp... prep. a 
y a(x+x, )(x-x,) : 
Pour intégrer cette équation différentielle, 
nous introduisons la nouvelle variable z = x+b et 
les racines du nouveau trinóme n = x,-b et 
r,-x *b. De cette facon, X+X, = Z+I., X-X 97 2-1, 
et dz - dx. L'équation différentielle s'écrit : 
A ET (2) 
a(z*r, )(z-r, ) 
En intégrant sur le domaine de définition de 
la variable z, nous avons : 
“vr, 
(3) 
  
  
  
  
ou ve — 
a 
L'équation (3) caractérise les différents 
types de distributions qui appartiennent a la 
famille des distributions issue des racines 
réelles du trinôme de l'équation de K. Pearson. 
Ceux-ci sont différenciés en fonction des valeurs 
des exposants -Vr, et TUE. Nous remarquons que la 
valeur limite inférieure pour les deux exposants 
I, 
z 
est -1; sinon l'intégrale | ydz ne convergerait 
-r 
1 
pas. 
D'après l'étude faite par K. Pearson, 
1'intervalle entre les deux racines -r, et r, 
"r «z« r est considéré comme le domaine de 
définition de la variable z (par conséquent pour 
la variable initiale x nous avons -X Xxx, ). 
Après avoir effectué le changement de 
variable z = x + b les nouvelles racines "T, et r, 
ne sont pas obligatoirement de signe opposé. 
Trois cas principaux sont à distinguer (notés I, 
II et III). 
I. Les nouvelles racines 7r, et r, sont 
toutes les deux négatives : =r, <r, < 0. 
L'équation (3) s'écrit : 
-vr -VY 
i zu Gem) Jm) ^ (4) 
y=y = = 
o n vr, T" 
La constante d'intégration se calcule à l'aide 
r 
2 
de la contrainte : } y dz - 1. 
-r 
1 
Elle est égale à : 
vir * fo-i 
(r tr ) Iz 
1 2 1 
y_= 
o vr vr 
r+ (=r) 2 
1 2 
  
(5) 
B (1-vr,, 1-vr, ) 
Pour les exposants VE, et TV, les cas 
suivants se distinguent (ils sont codés par les 
chiffres italiques 1,2,3,..): 
-1<-ur, <0 et 0<-vr_<1 ra nee cas 1 
-1<-vr, <0 et -vr,>1 62.02... 27... cas 2 
-1«-vr,«0 et O«-vr, «1 0 er cas 3 
-1<-vr_<0 et -vr,>1 sasestesieeesecosne cas 4 
II. Les nouvelles racines -r, et r, sont de 
signe ‘opposé : -r, 4 0, r, 0. 
L'équation (3) s'écrit : 
1 T ZN 
o "rM (zr, ) (n-z ) (6) 
ri r 
En effectuant les même transformation de 
variable que précedement nous trouvons la 
constante d'intégration : 
y-y 
Tm ?-1 
( r, + r, ) 
o vr vr, B ( 1-vr,, 1-vr, ) 
  
(7) 
Pour les exposants "VE et -Vr, les cas 
suivants se distinguent: 
Cd <vr < 0 et -i «vr«0..........-- cas 5 
0 <-vr, < J et Q0 «-vr,«4 d. lreceiecose cas 6 
Ü «-vr« 1- et TE 1l............... cas 7 
"Io 1 et 9 a ees. cas 8 
- 1 et V ksi nnn see cas 9 
III. Les nouvelles racines -T, et r, sont 
positives et de même signe ; l'expression (3) 
s'écrit : 
vtr + r 3-1 
{r + x ) 1. f -vr -vr 
1 2 2 2 
(z*r,) (r,-z) 
  
YS T = 
B (1 vr, , 1 vr, ) 
Les différents cas possibles pour les 
exposants -vr, et VI, coincident avec ceux du 
eu Pm Ld em PS ba Ol