La méthode des moments, utilisée par K. 
PEARSON, ne peut s'appliquer que dans le cas où 
les réalisations de la variable ä étudier sont 
rangées selon un ordre croissant. C'est la 
troisième étape du prétraitement informatique. 
2.3 Tableau caractéristique, moments observés et 
coefficients d'asymétrie et d'aplatissement. 
A partir du vecteur précédent (cf.83.1) nous 
construisons un tableau utilitaire et indicatif de 
la distribution réelle dont nous calculons les 
moments . Le tableau contient six colonnes (dans 
le cas de canaux bruts les dimensions du tableau 
sont (256x6) ): 
- la première représente la modalité de la 
variable aléatoire. 
- la deuxième son effectif. 
- la troisième sa valeur centrée. 
- les quatrième, cinquième et sixième, sont les 
valeurs centrées à la puissance 2, 3 et 4. 
Schématiquement, ce tableau a la forme 
suivante : 
  
  
x |y |x-x | (x-x) (x-x). ==)" 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Une autre procédure informatique qui succede 
à la précédente effectue la somme en colonnes, des 
quatre derniéres colonnes du tableau créé. En 
divisant chacune de ces sommes par l'effectif 
total, nous obtenons la moyenne centrée (donc 
nulle), la variance et les moments centrés d'ordre 
3 et 4. Ce sont les moments centrés de la 
distribution observée. En considérant que ceux-ci 
sont égaux à ceux d'une distribution théorique, 
nous recherchons cette dernière après l'analyse de 
l'équation différentielle de  K.PEARSON. Les 
caractéristiques d'une distribution sont des 
fonctions de ses moments. Ainsi, nous calculons 
m 
les coefficients d'asymétrie K = ue et 
n, 
n. 
d'aplatissement £ - —^ *3 de la distribution. 
m 
2 
Nous établissons un second tableau contenant les 
observations avec les fréquences relatives. 
Celui-ci, indicatif de la distribution, met en 
évidence la répartition des fréquences des 
valeurs radiométriques et la correspondance de 
chacune d'entre elles avec sa valeur centrée et 
réduite. Il contient ou non les modalités 
observées (selon la réponse de l'utilisateur). 
2.4 Algorithme de détermination des courbes 
Pearsonniennes issues des classifications. 
Ayant calculé les moments de la distribution 
étudiée, nous procédons au calcul des coefficients 
a, b et c du trinóme du dénominateur de E.D.P. 
La valeur du discriminant du trinóme et des 
coefficients a et b déterminent l'appartenance de 
la courbe étudiée à la grande classe des racines 
réelles. Pour cela, il faut que le discriminant 
soit positif et que les coefficients a et b se 
trouvent hors d'un petit intervalle défini autour 
de zéro (par ex. [10 ,10 ]). Si les valeurs de a 
et b sont incluses dans cet intervalle, nous 
412 
classons la distribution en tant que normale ; 
sinon les racines du trinóme sont calculées. 
1. Si le produit des racines est un nombre 
négatif, nous sommes dans le cas des racines 
réelles de signes opposées. À la suite du calcul 
des racines du trinôme du dénominateur -X, et X, 
nous distinguons deux cas : 
a)|x |<|x,| et 
b)|x, |»|x, | - 
Sans restreindre la généralité, nous 
interchangeons les valeurs de x, et X, de facon 
que EAESEN (le trinóme du dénominateur étant 
symétrique par rapport à -X, et x). 
Les racines sont calculées a partir des 
coefficients a, b et c du trinöme (fonctions des 
moments). Pour tester le calcul fait jusqu'ici, 
nous vérifions que le trinóme de coefficients a, 
b, c s'annule pour les valeurs 7X, X. Ensuite, 
les racines correspondant -r, et r, de la variable 
transformée z sont calculées. Afin de classer la 
distribution étudiée parmi les différents types 
définis (partie théorique ci-dessus) nous évaluons 
les quantités v, vr, et vr. Avant de rechercher 
les ordonnées de la courbe théorique, nous 
établissons les moments de la distribution de la 
variable z par rapport au point z - -T, - Les 
moments centrés correspondant ne sont pas calculés 
à ce niveau ; les mêmes formules étant valables 
dans le cas des racines réelles de même signe 
(minimisation du coût de calcul). Puisque les deux 
cas sont exclusifs (racines réelles de signe 
opposé ou du même signe), les moments théoriques 
centrés sontétablis après le calcul des moments 
translatés dans le cas de racines réelles de même 
signe. 
L'étape suivante consiste à classer la 
distribution étudiée parmi les six types S1 a 5S6. 
Elle se réalise à l'aide d'un test qui se base sur 
les valeurs des exposants -VE, et VI... 
Pour cette famille de courbes, il ne reste 
plus qu'à calculer les ordonnees de la courbe 
théorique dont l'équation est : 
v(r, tr,)-1 
(r, tr, ) -Vr, -VI 
(r,+z) (r,-z) 
y IU TT 
B(1 vr, ,1 vr.) 
Puisque la variable z est issue de la variable 
centrée initiale, x nous calculons pour toutes les 
modalités de la variable x les valeurs 
correspondantes de la variable z (z=x+b). Notons 
que pour le calcul informatique les variables x, z 
et y sont des tableaux de dimension lx1l ou 1 est 
le nombre des modalités de la variable x. La 
fonction Beta, ayant comme arguments 1-vr, et 
1-vr, , est calculée grâce à sa propriété : 
- F(a)F(b) 
B(a,b)= "T(asb) z 
La fonction Gamma qui intervient dans cette 
dernière formule fait partie des fonctions 
standard de la librairie mathématique du langage C 
(language C sous UNIX Norme ANSI.). Sa valeur, 
pour un argument donné, peut être obtenue 
directement . 
Ainsi ayant déterminé toutes les grandeurs 
nécessaires, nous  procédons au calcul des 
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