vraisemblance qu'un pixel appartienne à la classe A 
tandis que les plausibilités comme la possibilité 
maximum. 
La "vraie" vraisemblance se trouve entre ces deux 
valeurs dans l'intervalle [s(A),pl(A)] qui est souvent 
appelé intervalle évidentiel. 
Combinaison d'informations multi-sources (régle 
orthogonale de Dempster) 
Considérons, maintenant, le cas où on dispose de 
plusieurs sources de données : 
pour simplifier, nous n'allons prendre que deux 
sources avec les fonctions de masses suivantes: 
m1(<A,B,C,61>)= (m1(A),m1(B),m1(C),m1(0)) 
m2(<A,B,C,02>)= (m2(A),m2(B),m2(C),m2(0)) 
La question, maintenant, est de savoir comment 
nous pouvons combiner ces deux sources pour 
calculer le degré d'appartenance de ce pixel aux 
différentes classes, et de réduire l'incertain de telle 
manière que l'intervalle évidentiel devienne 
suffisamment petit, pour qu'on puisse choisir la 
classe appropriée avec un degré de confiance élevé . 
Le moyen de combiner ces deux sources se fait dans 
la théorie de l'évidence par la règle orthogonale ou 
règle de combinaison de Dempster . 
Une première source produit des informations qui 
seront représentées par le vecteur de masse m1, où 
chaque composante indique le degré de confiance 
qu'a la source concernant l'appartenance de l'objet à 
la classe correspondante. 
La seconde source , produit quant à elle des 
informations qui seront contenues dans le vecteur 
m2, et le vecteur m sera le résultat de la 
combinaison des deux vecteurs précédants 
(m1@m2), Pour un sous-ensemble X, m(x) est donné 
par la somme du produit de toutes les valeurs 
affectées aux sous ensembles Y et Z , appartenant 
respectivement à la première et seconde source, et 
qui par leur intersection produisent le sous 
ensemble X : 
m(X -K *mt(Y.m2 à 
YnZ=X 
lata > mi(Y).m2(2 
YnZ=S 
K est appelé constante de normalisation de la 
somme orthogonale de (m1®m?2), il mesure le 
conflit entre les deux fonctions de masses. 
La quantité log(K) notée wett(m1,m2) par [Guan91] 
est appelée le degré de conflit entre m1 et m2. 
S'il n'y a pas de conflit entre m1 et m2, alors 
wett(m1,m2)=0, si les deux sources sont en conflit 
total i.e (la somme orthogonale n'existe pas ), alors 
wett(m1,m2)=0. 
Pour avoir m(A)=0, on mutiplie cette somme par le 
facteur K qui est calculé à partir du degré de conflit 
entre les deux sources et qui est donné par 
1- YmM.m2(2 
YnZ=2 
si YmM.m2@ =1 
YnZ=0 
alors les deux sources sont 
totalement  inconsistantes (Aucune étiquette en 
commun). 
916 
L'application de la règle de Dempster, pour la 
classification d'images satellites, se simplifie, si l'on 
suppose que les classes sont exclusives, les 
propositions sont donc considérées comme des 
classes ou sous ensembles disjoints, (leur 
intersection est nulle): 
Si la source S1 produit m1(<A,B,C,6>), et la source 
S2 produit m2(<A,B,C,6>), 
et m le vecteur résultat de la combinaison 
m(<A,B,C,6>) alors 
m(x) = K.(mi(x).m2 &) + mi(x) .m2 ©) + M2(x).m1(6)) 
1 
^ Un Sy mal 
ynz=0 
source1 
"aA ^B Q % 
à ls z 83 = m(Ak 
source2 zB (BA 
e 
2 ^g £ EF = m(C)k 
z I = mio)x 
® Ow »&8 
  
1 
Estimation de l'incertain : 
Une condition préalable pour appliquer la règle de 
Dempster est de déterminer quel degré d'incertain, 
on va rattacher aux données de chaque source?. 
Lee[Lee87] a proposé deux méthodes pour calculer 
l'incertain de chaque source: 
Un choix possible est de réaliser une classification 
pour chaque source afin d'en estimer le pourcentage 
d'erreurs et les utiliser comme valeur de l'incertain. 
Cet incertain serait dû à la modélisation des classes 
ou à la confusion entre les classes. 
Une autre méthode , consiste à considérer les 
vecteurs de mesures et d'estimer les erreurs 
engendrées lors du calcul des paramètres statistiques 
ayant servi pour définir les classes. 
L'estimation de l'incertain en fonction de la 
séparabilité des classes 
L'estimation de l'incertain qu'on considére comme 
étant le reste des cas pour lesquels on ne dispose 
d'aucune information, et que l'on associe à une 
classe résiduelle, peut aussi être calculé par une 
technique basée sur le calcul de la séparabilité des 
classes, ou bien le degré de confusion inter-classes. 
On considère ici que l'incertain, ou le degré de 
vraisemblance affecté à la classe résiduelle est nulle, 
si la source affecte la totalité de l'information à une 
et une seule classe, cest à dire que toutes les autres 
classes possédent un degré de vraisemblance 
minimum . Dans ce cas la séparabilité entre la classe 
la plus favorable et le reste des classes est maximum 
(i.e confusion nulle). 
Si on considére que l'on dispose de n classes et que 
les mesures de vraisemblance sont des probabilités, 
alors ce cas serait représenté par: 
P(Ci -1et onaP(Cj-0 Vjei 
L'incertain, présente par contre un degré maximun, 
quand la totolité de l'information est distribuée 
équitablement, entre les différentes classes, dans ce 
cas les informations provenant de la source 
ac "^ du Ju — A