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corréspondante sont sans effet et ne contribuent en 
rien à la prise de décision. 
Si on considére que l'on dispose de n classes et que 
les mesures de vraisemblance sont des probabilités, 
alors ce cas serait représenté par: 
P(x/Ci) =1/n V i. 
Ces deux cas de figures peuvent étre shématisés par : 
  
  
  
joi 
m X 
i Xi Degrés de 
2Xj ji vraisemblance 
(n-1) ^ 
(Barycentre) 
Séparabilité inter-classes maximale 
"Incertain minimal" 
Séparabilité 
inter- classes 
minimale, 
"Confusion" 
  
  
— 
Degres de 
vraisemblance 
"Incertain maximal" 
A partir de ces valeurs extrémes, les valeurs 
intermédiaires de l'incertain, seront calculées pour 
des situations intermédiaires corréspondantes. On 
rappelle que les définitions données plus haut, ne 
sont valables que si les classes sont mutuellement 
exclusives. 
Le probléme de séparabilité ou de concentration des 
mesures de croyances, a été soulevé par 
Sandri[Sandri91] sous le titre d'equi-répartition des 
croyances. : ; 
Sandri fait remarquer dans sa thèse la différence qui 
existe entre l'equi-répartition des croyances et celle 
de l'ignorance totale, dont voici les définitions, 
soit Q, un référentiel, 
A: un sous ensemble du référentiel © 
g(A): un nombre réel, permettant de quantifier la 
confiance qu'a la source en l'occurrence de 
l'événement A. 
L'ignorance 
l'état d'ignorance d'une source par rapport à un 
événement, est caractérisé par la seule croyance que 
Q est certain et @ est impossible, et l'absence de tout 
autre événement. Tout ce que l'on sait, est que la 
croyance est entre 0 et 1. L'ignorance se caractérise 
par la certitude que tout autre événement différent 
de © est égale à 0. Le raisonnement avec cette 
hypothèse est appelé par certains auteurs 
raisonnement avec les hypothèses du monde 
fermé" [Smets88] . 
Dans la théorie des croyances, l'ignorance est 
917 
modélisé par : 
Bel(Q) = 1 et Bel(A) = 0 V Az Q. 
L'equi-répartition des croyances 
Cet état est caractérisé par une croyance uniforme de 
la source en tous les éléments du référentiel : 
gop) =kVoe Q 
l'equi-répartition des croyances exprime l'absence 
d'informativité d'une source, cet état inclut l'état 
d'ignorance. La prise de décision est pratiquement 
impossible, concernant la véracité d'un événement. 
En termes de probabilités, l'equi-répartition des 
croyances est réalisée par une distribution de 
probabilité, telle que p(o)=1/ |Q| Voe Q. 
En théorie des croyances, l'equi-répartition est 
représentée par: 
Voe 2, Pl({0})k, k=1/| 2 | 
La remarque, qui peut être faite ici, est que la théorie 
des croyances, permet de représenter et distinguer 
entre les deux états (ignorance, et equi-répartition 
des croyances), tandis que la théorie des probabilités, 
ne peut représenter que l'equi-répartition des 
crovances. 
Afin d'appliquer la règle de Dempster, l'incertain 
peut être calculé en se basant sur ces définitions, où 
au départ, il s'agira de calculer les degrés de 
réalisation des différentes classes, par une méthode 
classique probabiliste (Pr e [0,1]) , géométrique 
(Diste R*) ou bien par une autre méthode 
quelconque donnant par exemple des facteurs de 
certitudes . (CF € [-1 +1] dans le système expert 
MYCIN). 
Si on suppose que les mesures de vraisemblances 
sont représentées par des probabilités, l'estimation 
de l'incertain se réalise de la manière suivante: 
Pour un point, les probabilités d'appartenir aux n 
classes «x1,x2,....,Xn» sont 
<p1,p2,.…,pn>, Ospjs1 V j=1,n 
On calcule la séparabilité par la formule : 
1 n 
= 
  
ji 
pi=Max pj, j=1,n 
l'incertain m(0) est donnée par m(6) = 1-Sep. 
Si la séparabilité est maximale c'est a dire égale a 1, 
alors l'incertain est nul, par contre si la séparabilité 
est nulle, alors l'incertain est maximal, c'est à dire 
égal à 1. 
Le vecteur de masse X , aura une composante 
supplémentaire qui correspondra au cas incertain ou 
bien à la classe résiduelle, pour laquelle on affecte le 
reste de l'information. 
m«X,X,..,X,0» avec m(x ), m(8) e [0,1] 
on peut facilement construire à partir du vecteur X, 
le nouveau vecteur de masse m'(X) tel que 
mO9-m(«x,x,..,X,0») avec 2m (x) +m @)= 1 
A partir de ce vecteur, on calcule les quantités 
correspondant à la crédibilité et à la plausibilité, 
pour ainsi pouvoir prendre une décision, pour 
l'affectation du point à la classe la plus proche. 
On peut aussi introduire la fiabilité des sources dans 
la méme formule calculant l'incertain. 
On suppose qu'on soit dans le cas où on a_ une idée 
sur l'ordre d'importance des sources dans le