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Es erhellt leicht, dafs der beschreibende Punct seine gröfsten Entfer- 
nmigen топ D erreicht, wenn пгф = 0, = 2т; = 4яг und so weiter ist, in 
dem dann Cos ф seinen geringsten Werth erhält und ф = a 4- у — £ ist. Eür 
7пф — 7t; = 3 7Г]' = (2/2 4- 1) w kömmt der beschreibende Punct dem Pole am 
nächsten, und es ist da ф = а — £ —-у, so dafs es sich sogar ereignen konnte, 
dafs diese höchsten Puncte über D hinaus lägen, wenn £ + y>& \yäre. Die 
Cycloide ist, um diese Puncte топ beiden Seiten symmetrisch, wie sich aus 
leichten Ueberlegungen schliefsen läfst. 
Wenn ш eine rationale Zahl ist, so kömmt nach einer bestimmten An 
zahl топ Wälzungen der beschreibende Punct in die Curye zurück, die er schon 
beschrieben hat. 
Für у >£, giebt es einen Knoten, wie bei der verkürzten ebnen Cy 
cloide, und man würde diesen finden, wenn mau <r = 0 setzte, also ф aus 
der transscendenten Gleichung 
n t Sin у . Sin ш <V 
tan b ф Cos у ^ sin — q у < (j QS — Sy. Cosmq/ 
bestimmte. 
Diese Betrachtungen reichen schon zu, um uns die Form der Curve 
übersehen zu lassen; wir wollen nun aber aus den allgemeinen Formeln weitere 
Folgerungen herleiten. 
380. Die vorigen Gleichungen lassen sich auf drei rechtwinkliche 
Coordinaten bringen. Wenn nämlich für den Punct M die senkrechte Ent 
fernung von der Ebne ACB, ~ oc, ist, und in dieser Ebne у mit CT oder 
dem Radius parallel ist, auf welchem der mit ф = 0 zusammengehörende 
Punct liegt, und z darauf senkrecht, dann ist 
x == г Cos ф; 
у = г . Sin ф Cos er; 
z = r , Sin ф. Sin er. 
381. Die Differentiale werden folglich 
da7 = — /• dф. Sin ф—пъЛф. Sinm ф. Sin, Sin(a — £}. 
dy=r d-ф. Cos ф Cos er — rder Sin ф Sin er, 
dz^rdip Cos ф Sin (T + rdcr Sin-ф . Cos er, 
und wenn d l x = 0 oder d^ ф Зтф + dф л Cos ф = О 
oder d 2 ip =■ — ¿ф' 2, Cotang ф, also auch ¿¿ 2 (p = — md(p*. Cotang тф. 
sein soll, 
d z / = r. 
dф ,1 CoS(T , , , _ , , 
—zdфd<т Созф Sm<f—d~ er Sinф, Siner 
*— der* Sin ф Cos er| ;