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Zentralkrüfte. Potential. 55 
wie sich aus dem dortigen Ausdruck des Potentials U ergibt, wenn 
man den Faktor — fm fortläßt und bedenkt, daß 7, die Entfernung 
des Aufpunktes vom Kugelmittelpunkt darstellt. Hieraus folgt: 
  
Mg oo Ag, Be Og 
à cT aM S3! 
und: 
Ap = — Axk, (131) 
unabhängig vom Radius der Kugel, welche Gleichung als die 
Poissonsche bezeichnet wird. 
Wir können die Poissonsche Gleichung leicht auf den Fall 
einer beliebig geformten inhomogenen Masse verallgemeinern. Zu 
diesem Zweck denken wir uns um den im Innern der Masse be- 
findlichen Aufpunkt eine sehr kleine Kugel gelegt, deren Masse 
wir mit 1 bezeichnen, im Gegensatz zu der übrigen. Masse 2. 
Dann ist die Potentialfunktion ¢ der ganzen Masse gleich der 
Summe der von der Masse 1 und der von der Masse 2 herrühren- 
den Potentialfunktionen: 
9 — 9, 4- q,, und ebenso: 49 — 494 4- 495. 
Nun ist aber nach (129) 4g, — 0, weil in bezug auf die Masse 2 
der Aufpunkt ein äußerer Punkt ist, also bleibt Jp — Ap,. Da 
die Kugel sehr klein ist, kann man sie ohne merklichen Fehler 
als homogen betrachten, und zwar von derjenigen Dichtigkeit, 
welche die wirkende Masse gerade an der Stelle besitzt, wo sich 
der Aufpunkt befindet. Man erhält dieselbe, wenn man in kg 4, ¢ 
für $, z, & die Werte x, y, z einsetzt. Daraus folgt also nach (131): 
Ag — — Az ks, yn. (132) 
Man kann die Poissonsche Gleichung insofern als eine Ver- 
allgemeinerung der Laplaceschen Gleichung auffassen, als man 
sich die wirkenden Massen den ganzen unendlichen Raum lücken- 
los ausfüllend denkt mit einer Dichtigkeit %, die teils Null, teils 
von Null verschieden ist. Dann ist der Aufpunkt stets innerhalb 
der Massen gelegen, und es gilt immer die Gleichung (132) Wo 
keine reale Masse sich befindet, ist &= 0, und es tritt an die Stelle 
der Poissonschen die Laplacesche Gleiehung. Zugleich erkennt 
man an der Hand dieser Auffassung, daß der Sprung, den die 
zweiten Differentialquotienten von ¢ beim Durchgang des Auf- 
punktes durch die Oberfläche der Massen erleiden, bedingt ist 
dureh den Sprung, welchen die Dichtigkeit %# bei diesem Durch- 
gang erleidet.