56 I. Teil. 3. Kapitel. 
§ 45. Vom mathematischen Standpunkt aus sehen wir, dal, 
wenn die Potentialfunktion ¢ von irgendwelchen rüumlich ver- 
teilten Massen in allen Punkten v, y, 2 des Raumes gegeben ist, 
die Dichtigkeit X dieser Massen durch eine einfache eindeutige 
Differentialoperation daraus berechnet werden kann, während die 
umgekehrte Aufgabe, aus der Dichtigkeit X die Potentialfanktion 
zu finden, eine solche der Integralrechnung ist. Oder mit anderen 
Worten: der Ausdruck (126): 
k& nm, t-dV 
p fent, 
in welchem wir X. für unendlich ferne Punkte $, 2, 6 als ver- 
schwindend annehmen, ist ein Integral der Differentialgleichung (132), 
aber nicht das allgemeine Integral, sondern dasjenige partikuläre 
Integral, welches durch die Bedingung beschränkt ist, daß @ ver- 
schwindet, wenn der Aufpunkt ins Unendliche rückt. 
Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen und mit den ersten 
Differentialquotienten stetigen Funktion 9, welche der Differential- 
gleichung (132) genügt, ist: 
(133) ef T eos 
wobei o, die Gleichung 4g, — 0 im ganzen unendlichen Raume 
genügt. g, làft sich immer auffassen als die Potentialfunktion 
von Massen, die ganz im Unendlichen liegen. So z. B. ist der 
Spezielle Wert: 
Do = const., 
welcher offenbar ebenfalls die Gleichung 4g, — 0 befriedigt, gleich 
der Potentialfunktion einer homogenen Kugelschicht von unendlich 
groBem Radius. Vgl. § 37. 
§ 46. Wir wollen noch die Potentialfunktion 9 berechnen 
für den speziellen Fall, daf die Dichtigkeit der wirkenden Massen 
von einer der drei Koordinaten, etwa von 5, unabhängig ist. Dieser 
Fall wird verwirklicht, wenn die Massen zylindrisch parallel der 
z-Achse angeordnet sind, in der Weise, daß in jedem unendlich 
dünnen Zylinder die Dichtigkeit konstant ist. 
Dann wird die Potentialfunktion @ nur von x und y, nicht 
aber von z abhängen, und wir können daher unbeschadet der All- 
gemeinheit den Aufpunkt in der xy-Ebene befindlich annehmen: 
£ — 0, wodurch 7?. übergeht in: 
= 0A ©,