Integration der Bewegungsgleichungen. 63 
mehr übrig. Denn die einzige unter den von uns aufgefundenen 
Beziehungen, welche die Zeit £ nicht enthält, ist die durch die 
Gleichungen (17), (80) und allgemeiner durch (151) ausgedrückte. 
Daraus folgt, daß die Gleichung (151) oder das Prinzip der leben- 
digen Kraft: 
1 
mg + U= 5 mg? ~+ U, = const. (154) 
aufzufassen ist als die Anwendung des Prinzips der Erhaltung 
der Energie auf rein mechanische Vorgänge, und daß dabei die 
mechanische Energie zu setzen ist: 
E—;m@+U—L+U. (155) 
Die mechanische Energie besteht also aus zwei Teilen: der 
lebendigen Kraft L, oder der ,,kinetischen“ Energie (Energie der 
Bewegung), und dem Potential U, oder der „potentiellen“ Energie 
(Energie der Lage). Ihre Summe bleibt bei allen rein mechani- 
schen Vorgängen konstant. 
Da nach $ 48 das Prinzip der lebendigen Kraft nur für solche 
Kräfte gilt, die ein Potential besitzen, so bleibt auch nur für diese 
Art von Kräften die mechanische Energie erhalten; daher werden 
Solche Kräfte auch „konservative Kräfte“ genannt. Für nicht- 
konservative Kräfte, wie z. B. Reibung, ändert sich die mecha- 
nische Energie, und die Universalität des Energieprinzips verlangt, 
daß in diesem Falle der Vorgang kein rein mechanischer ist, son- 
dern die Erzeugung einer fremden Art von Energie in äquivalenter 
Menge mit sich bringt, z. B. Würme. Dann verallgemeinert sich 
die Gleichung (154) etwa in folgender Weise: 
(Ld (U-—U)- Wee, 156) 
wobei W die in dem Zeitraum von 0 bis # erzeugte Wärme be- 
deutet, in mechanischem Mafle gemessen. So z. B. liefert die Glei- 
chung (19a), mit 2 multipliziert und naeh 7 von 0 bis 4 integriert, 
die Beziehung: 
i 
da 
0 
Das letzte Integral ist die erzeugte Wärme W. 
Kin anderes Beispiel einer nichtkonservativen Kraft bietet der 
Fall, daß die Kraft irgendeine Funktion der Zeit £ ist, wie z. B. wenn