5. Das hyperbolische Paraboloid. 
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d. h. wenn die Projection der Linie in der xyEbene zn einer 
der beiden Linien (2) des vorigen Paragraplien parallel läuft. 
Soll auch r 2 — oo werden, so mäßen die Gleichungen (2) und 
(7) gleichzeitig gelten. Nun folgt aus (7) und (1): 
(8) ^±^ = 0, 
aus (1) und (2) ergibt sich ferner 
Die Linie, welche das hyperbolische Paraboloid in zwei un 
endlich entfernten Punkten trifft, ist der Durchschnitt der 
Ebenen (8) und (9). Die Ebenen (8) sind leicht zu con- 
struiren. Zur Herstellung von (9) bieten sich zwei Wege. 
Einerseits sind (9) und (6) einander parallel. Andererseits 
ist die Ebene (9) parallel zur Ebene. 
1/V 
p) »»M 
' C L 
h 2 
0, 
und diese Ebene ist leicht zu finden, da sie den Durch 
schnitt des Paraboloids mit den Ebenen (8) in sich enthält. 
Fünftens, r, und r 2 sind völlig unbestimmt, wenn die 
Gleichungen (2), (3), (7) gleichzeitig gelten. In diesem Falle 
liegt die gerade Linie (1) ihrer ganzen Erstreckung nach auf 
dem hyperbolischen Paraboloid. Es decken sich die Ebenen 
(4), (6), (9), (10), Die gerade Linie, welche durch den Punkt 
(?, r„ C) des Paraboloids geht und ganz in die Fläche fällt, 
ist also der Durchschnitt der Ebenen (8) und (4). Oder mit 
andern Worten: Die Tangentialebene des Punktes (£, r r Q 
durchschneidet die Fläche in zwei geraden Linien, deren Pro- 
jectionen in der xy Ebene den beiden Linien (2) des §. 228 
parallel sind. 
§. 280. 
Aufgabe. Durch den Punkt (»j, y x , z x ) des hyper 
bolischen Paraboloids ein neues System von Coordinatenaxen 
so zu legen, daß die neue Gleichung der Fläche die Producte 
2A r r, 2YZ, 2ZX nicht enthalte.