3. Grundlegung der projektiven Geometrie.
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§ 18.
Zahl von gleichen Schritten im Sinne dieser Maßbestimmung nicht
erreichbar sind. Zwei Strecken (AB) ond (ÄB r ) auf zwei verschie
denen Geraden u und u mit den unzugänglichen Punkten U x , U 2
und TJ(, U 2 sind gleich, wenn U t ABU 2 A TJ(ÄB'TJ 2 ist (siehe
Fig. 83). Um, wenn A, B und Ä gegeben sind, B' zu finden, proji
zieren wir A' aus dem Schnittpunkte S der Geraden L\U( und U 2 U 2 '
auf U X U 2 ' als A", bestimmen den Schnittpunkt T von TJ 2 U 2 mit
A"A und den Schnittpunkt B'
von SB" im gesuchten Punkte
B' geschnitten. Offenbar ist
(AB) - (Ä'B"> = (A'B'y.
Man überzeugt sich leicht, daß
der Ort eines Punktes B, der
von einem festen Punkte A
einen bestimmten Abstand a
hat, das Erzeugnis projektiver
Strahlenbüschel ist. Der hyper
bolische Kreis ist also eine
Punktreihe zweiter Ordnung.
Eine ausführliche Darstel
lung der wichtigsten elemen
taren Konstruktionen der beiden
Nichteuklidischen Geometrien
vom Standpunkte der projek
tiven Geometrie aus hat M.
Großmann 1 ) gegeben, allerdings mit Hilfe von Koordinaten, doch
sind die meisten Figuren auch ohne Rechnung verständlich.
Wir möchten nicht unterlassen, auf den interessanten Unterschied
dieses Systems der hyperbolischen Geometrie gegen unsere Versinn-
lichung derselben im Kugelgebüsche aufmerksam zu machen, daß
zwei Geraden, die sich innerhalb o nicht schneiden, außerhalb co stets
einen Schnittpunkt haben, der vom Inneren der Punktreihe co aus
nicht durch eine endliche Anzahl im Sinne der hyperbolischen Metrik
gleicher Schritte erreicht werden kann. Während also hier die
idealen Schnittpunkte reell sind, waren sie beim sphärischen Typus
der hyperbolischen Geometrie imaginär.
10. Die Metrik der parabolischen Geometrie ist viel weniger
einfach als die der hyperbolischen. Die parabolische (Euklidische)
1) M. Großmann, Die fundamentalen Konstruktionen der Nichteuklidi-
schen Geometrie, Beilage zum Programm der Thurgauischen Kantonschule,
1903/04.
von TB mit U x TJ 2 . Dann wird u
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