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Ces deux proportions ayant les extrémes égaux , on pourra mettre 
les moyens en proportion et l'on aura : 
sin. À : sin C +: AB : RC, 
Ii | ce qui justifie le théorême énoncé. 
| 2° Si la perpendiculaire tombe en dehors du triangle ABC, les 
triangles rectangles BAD , BCD , donneront encore les proportions : 
R : sin. A :: AB : BD 
Rc sn. C: RE - BD; 
li d'oü l'on déduit encore : 
"n sin. À : sin G:: AB: BC. 
Observation. — On voit par là que le sinus d’un angle obtus n’est 
autre chose que le sinus de son supplément. 
E QUATRIEME THÉORÈME.—Dans tout triangle rectiligne, la somme 
| || de deux cótés est à leur différence, comme la tangente de la demi- 
M | somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de la 
demr-différence de ces mêmes angles. 
I | En effet , nous avons , d’apres le théoréme précédent : 
D à|| AB.: AC :: sin. C: sin. B. 
| Mais d'aprés une propriété connue des proportions , cette relation 
donne la suivante : 
I | AB -F- AC : AB— AC :: sin. C -I- sin. B : sin. C — sin. B. 
|| Or, il existe en trigonométrie la relation : 
; ; ; 1 : 1 
Syn. C -- sin. B: sin. C— sin. B : tang. = (CB): tang. 5 (C—B), 
NH laquelle , combinée avec la précédente , donne : 
Er 
; ] (3 
AB -2- AC : AB—AC : : lang. 4 (C -- B) : tang. 1 (C — B), 
ce qui justifie le théoréme énoncé. 
  
| CINQUIEME THEOREME.—Dans tout triangle rectiligne, le cosinus 
| d’un angle est au rayon , comme la somme des carrés des côtes , 
| qui comprennent cet angle , moins le carré du troisième côté , 
NF i est au double rectangle des deux premiers côtes ; 
C'est-à-dire que l'on a , ( fig. 2 de la planche isolée ) : 
Cos. A:R :: AB==AC— BC: 2 AB X AC.