9. Konstruktion der Hyperbel aus den Asymptoten.
Kennt man von einer Hyperbel die Asymptoten und einen Punkt oder die
reelle Achse, so ist sie konstruierbar ohne Benutzung der Brennpunkte (Fig. 152).
Ist die Kurve konstruiert und ziehen wir beliebige Gerade, welche Kurve und
Asymptoten schneiden, so sind stets die Strecken einer Sekante, welche zwischen
Kurve und Asymptoten liegen, einander gleich. Sind L und L‘ die Asymptoten,
A. ein Punkt
der Hyperbel,
so erhält man
auf einer be-
liebigen durch
A gezogenen
Geraden, diedie
Asymptoten in
B u. C schnei-
den móge, den
zweiten Hyper-
belpunkt — D,
wenn man BA
= CD macht.
Die durch
Punkt A an
die Hyperbel
gelegte — Tan-
gente wird von
den Asympto-
ten so begrenzt,
dass der Be-
rührungspunkt
den Halbie-
Fig. 155,
rungspunkt dieser Strecke bildet.
Dreiteilung (Trisektion) eines Winkels von beliebiger Grösse mittels
einer gleichseitigen Hyperbel. Fine Hyperbel wird eine gleichseitige genannt,
wenn ihre Asymptoten auf einander senkrecht stehen. Konstruieren wir zu zwei
aufeinander senkrecht stehenden Asymptoten Ox und Oy (Fig. 153) und einem
gegebenen Kurvenpunkt die Hyperbel und tragen wir den zu teilenden Winkel an
Ox in O an, dann schliesst Linie ON, gezogen von O nach dem Mittelpunkte N
der Sehne MR, welcher eine Länge —2 OM zu geben ist, mit der Asymptote Ox
einen Winkel ein, der gleich dem 3. Teile des gegebenen Winkels a ist: Beweis:
Es ist, da Dreieck POQ rechtwinklig ist, ON — PN — QN, mithin Winkel NOQ
—OQN und Winkel ONP—2NOQ als. Aussenwinkel eines gleichschenkligen
Dreiecks, Nach Konstruktion ist Dreieck MNO gleichschenklig, mithin Winkel
ONM—MON—2NOQ, d. h. X NOQ-—/,MOQ. Halbiere ich MON, so ist
MOQ —a in 3 gleiche Teile geteilt. |