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von der Deter- 
= [¡i, [ii] aller 
i] gebracht, wo 
^ebenen Zahl n 
und a völlig 
zahlen r, 5 ab- 
und liefert an 
idividuen einer 
1 a, und es ist 
3r Klasse man 
ung der Hilfs- 
so ergibt sich 
weil sie keinen 
Primzahl zu a 
izen vollständig 
an eine dieser 
so ergibt sich 
t eine positive 
dnd alle durch 
L von der Form 
en, und durch 
oan, weil m 2 a 
Auf diese Weise führt jede bestimmte ganze komplexe Zahl zu einer 
bestimmten Schar von parallelen*) quadratischen Formen (0, 6, c), 
deren Determinante — — 1 ist. 
Umgekehrt, wenn (a, b, c) eine solche (positive) Form, und folglich 
ac = (b i) {b — i) 
ist, so bezeichnen wir mit y den größten gemeinschaftlichen Teiler 
der beiden ganzen komplexen Zahlen a und b -j- i, und setzen 
a — ay, b -j- i — ßy; 
da nun cc, ß relative Primzahlen sind und beide in der Zahl ac = 
ß(b — i) aufgehen, so muß diese durch das Produkt a ß teilbar sein, 
und folglich ist 
c — ß d, b — i = ad, 
wo d ebenfalls eine ganze komplexe Zahl bedeutet. Ersetzt man, 
was stets erlaubt ist, alle hier auf tretenden Zahlen durch die kon 
jugierten Zahlen, so ergibt sich 
a — a y\ b -f- i = a d\ 
und da y der größte gemeinschaftliche Teiler dieser beiden Zahlen 
ist, so muß die in beiden auf geh ende Zahl a notwendig auch in y 
aufgehen; setzt man demgemäß 
so folgt 
y = ««', 
a — s aa' = s N (a), 
mithin ist s eine natürliche Zahl, und da dieselbe in y, also auch 
in b + i auf geht, so muß sie = 1 sein. Wir erhalten daher y = a, 
also 
a = a a — N («), b + i = ß a\ 
da aber b -j- i = a d', so folgt d' = ß, d — ß\ mithin 
c = ßß' = N (ß), b — i = aß'. 
Man setze nun 
u = p ß = r + si, 
so folgt 
a — p 2 4- q 2 , c = r 2 -f s 2 
b='pr+qs, 1 = ps — qr, 
mithin geht die Form (1, 0, 1) durch die Substitution (£' in die 
Form (a, 6, c) über (§ 54); unsere Theorie der ganzen komplexen 
*) Vgl. §56, Anmerkung. 
Dedekind, Gesammelte Werke, III. 
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