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2. Anmerkung ) H F gegen K F eine gröſſere Verhältnis / als H N gegen KN, 
und folgends auch die Vierung H F gegen der Urm"g KF; als die Vierung 
H N gegen der Vierung K N. das iſt/ als H B gegen B K, oder als K F gegen 
F G. Undalſo Hat aus dieſen dreyen Lineen / H F, K F und F G, die Vies 
rung der erſten gegen der Vierung der. andern eine grôöſſere Verhältnis, als die 
andere gegen der dritten; Derotwwegen hat auch die erſte gegen der dritten (HF 
gegen FG) eine grôöſſere Verhältnis / als K F gegen F G, das iſt/ als B F ge, 
gen F D. anderthalbmal genommen ( vermög folgender 5. Anmerkung,) 
Welches fürs andere hat ſollen betvieſen werden, 
Anmerkungen. 
Unterſchiedliches muß hier erläutert tverden/ damit der Betveiß Archimedis recht hell 
und klar für Augen lige. 
1. Schlieſſet er gleich Anfangs / tveil tvie D E ſambt D F gegen DEF ſichverhält / alſo 
HF gegen F B, ſo müſſe auch seyn tvie B F gegen F D, alſo H B gegen BE, tvegen Gleichheit 
derer beyden BE und D E. Dieſes ſeines Schluſſes Richtigkeit erhellet nun alſo : Wie DE 
ſambt D F gegen DF. alſo iſt HF gegen F B. Derotvegen auchzerteihlet/ tvie DE, dasiſt/ 
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iſt/ den Archimedes hier aufs neue nicht hat betveiſen tvollen/ weil er denſelben oben ſchon/ im 
Beweiß des 11. Lehrſatzes/ gleich Anfangs ausgeführet hat; tvie er ſich dann destvegen auf 
das vorhergehende beruffet. 
2. Darnach ſeget Archimedes als getviß / daß H F gegenK F eine kleinere Yerhältnis 
Habe/ als HB gegen BK; und abermals HF gegen K F eine gröſſere als H N gegen K N. Bey- 
bes heſtehet !œf einerley Grund / welchen Eucokius ohngefehr folgender Geſtalt fürbringet 
n : 
Archimedis Anderes Buch 
( 
Wann zu zweyen ungleichen Gröſſen ( als A B und CD) 
zwey gleiche (BE und D F) geſetzet werden/ ſo0 hat die gröſſere 
derer beyden erſken ungleichen gegen der kleinern ( A B gegen 
ID) eine gröſſere Verhältnis / als die gröſſere der beyden zit, 
ſammgeſetzten gegen der kleinern (als AE gegen C F.) 
Dann / tveil A B gröſſer iſt als C D, ſo hat BE gegen A B eine kleiner 
Verhältnis/ als eben dieſelbe BE, das iſt/ D F gegen C D ; vermög des sten 
M 2:3 
hältnis als A B gegen CD, nach dem 27ſken des V. das iſt / umbgekehrt/ 
A B hat gegenC D eine gröſſere Verhältnis als AE gegen C F. 
. 
Sonsten können tvir eben dieſes wiederumb durch einen augenſcheinlichen Vetveiß klar 
machen/ wann tvir die zivey ungleiche Dinge nennen e 4 und 2, und zu beyden hinzu ſesen b. 
Damn alſo ligt am Tag / daß e « gegen 4 eine gröſſere Verhältnis habe / als ex + b gegen 
a+b; und ſolches daher : Wannich e « durch 4 teihle / ſo kommt e ; tvann ich aber e46 
durch «+ teihle/ ſo kommt tveniger als e an ſtatt des Quori oder 'eiblung chtors: tvel- 
ches ein getviſſes Anzeigen iſt der kleinern Verhältnis. Daß aber tveniger als e komme | iſt 
offenbar. Dann wann e käme / ſo müſte der Teihler durch verbielfältiget eben das geteihlte 
tvieder herfür bringen/ und wann mehr als e käme / müſte der Teihler 4 + & durch e verbiels 
fältiget weniger bringen als das geteihlte tvar. Mun aber gibt 4 + & durch e geführet 
e 4+ e b, welches gröſſer iſtals ez + &. Noch kürzer könte derBetveiß/ und alſo / herfaſ- 
ſet iverden: Wie ea gegen 4, alſo iſt e «+ e b gegen «+ &. Nun aber ( teil ex + éb au- 
genſcheinlich gröſſer iſt als e 4 +- b) hat ex + e b gegen a + t eine gröſſere Verhältnis / als 
es + b gegen « + b. Öerotvegen hat auch & « gegen « eine gröſſere Verhältnis / als 
e « + b gegen « 4- b ; Welches zu betveiſen tvar. 
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Hieraus