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daß die Zahlen alſo ſtehen / 1/ 5/ 25-:) vie kan die Verhältnis 1 gegen 25 ziveymal so groß 
ſeyn als die Verhältnis 1 gegen / ſintemal aus dem sten des V . Buchs erhellet/ daß vielmehr 
unmbgekehret 1 gegen 5 eine grö f:! Yerhältnis habe | als gegen 25 2 Und dannoch wird 
die Verhältnis 1 gegen 25 gedoppelt oder ztveyfach genennet in Anſehung der Verhältnis x 
gegen s ; nehmlich keines weges der Meinung/ als ob jene ziveymal ſo groß tväre als dieſe/ ſone 
dern tveil dieſeztveymalinnerhalb dieſer begriffen iſt/ wie oben erkläret ivorden : Alſo / daß obis 
ges aus dieſem Grund nicht ſo leiehtlich erhellet / ivie es anfänglich ſcheinet / ſondern ( damit 
jichts zweifelhaftigeszu rukk bleibe ) beweiſens wol bedürftig iſt. 
David Rivalc de Flurance betveiſet es gar leicht 
mit Beyhülf beygesetzter / von uns etivas tveniges ges 
änderter / und näher auf unser Fürhaben gezogener/ 
Figur : Esſeyen Cund D die zwey ungleiche Lineen/ 
und G diemittlere gleichverhaltende darztviſchen / al- 
ſo daß / ivie C gegen G, alſo G gegen D ſich verhalte/ 
aus dem 13 den des VI.B. Soll nun betvieſen wers 
den / daß die einfache Verhältnis des C gegen CG kleis 
ner ſey als die gedoppelte eben deſſclben C gegen D. 
Soolches geſchißet alſo : Weil C gröſſer iſt als D, vermög obiger Auflöſung / ſo kan der 
unct / in ivelchem die drey Lineen zuſamm kommen / nicht der Mittelpunct seyn / ſondern die- 
er muß tveiter hinein auf die Lini C fallen; und destvegen iſt C die gröſſeſte Lini/ D die Eleineſte/ 
G aber alſo gröſſer als D, nach der 7dcn des 111. Buchs. Deroivegen muß nohttvendig C 
gegen der grôſſern G eine kleinere Verhältnis haben / als gegen D der kleinern / vermög des 
§een irn V. Buch. Welches zu beweisen tar. 
Ob nun ſchon dieſer Beiveiß zu gegentvärtigem Fürhaben / alltvo eben bon Lineen allein 
geredet wird/ ganz genugsam iſt / so wollen tvir dannoch Luſts und Ubung halben ( tveil nicht 
allein dieſer/ ſondern auch alle andere Lehrſäte von denen gleichverhaltenden Dingen [de pro- 
port onalibus ] esſeyen hernach gleich Lineen / oder Zahlen / oder Zeiten / oder Getvichte/ :C. 
allgemein ſind / und deßtvegen auch einen allgemeinen Betveiß erfordern ) denſelben allgemein 
machen/ und von Lincen / Zahlen / Getvichten / und wvas ( onſten Meſſens fähig iſt/ auf einmal 
betveiſen/ daß/ tvann drey gleichverhaltende Dinge / C. G, D. ſind/ und das erſte grôſſer iſt als 
das lezt / allezeit das erſte gegen dem mittlern gleichverhaltenden G eine kleinere Verhältnis 
habe/ als gegen dem lezten D. Der ganze Schluß ruhet / tvie oben gesehen / darauf / daß in 
folchem Fall G allezeit gröfser ſey als D, tvelches alſo betieſen wird : Wann G nicht gröſſer iſt 
als D, ſo muß es enttveder demſelben gleich oder kleiner ſe nn. Jſt es ihm gleich / und G ber- 
Hält ſich gegen D, tie C gegenG, nach obigem Satz / ſo müſſen C undQ, und folgends C 
und U é als diebeyde demdritten/ D, gleich ſind) auch einander gleich ſcyn / welches die Ver- 
nunftlehret/ aber zugleich wider denerſten Saß (hypochclin ) iſt. Js dann G.kleiner als D, 
ſo muß auchnohtivendig ( tveil C gegen G ſich ebenſo verbält/ iwie G gegen D ) auch C kleiner 
ſeyn als G.und umbſoviel mehr auch kleiner als D ; velches abermals wider den erſtenSat;.laufs 
fet undungereimtiſt. Folget derowegen,/ daß G gröſſer ſey als D , undalſo C gegenGeine klei- 
nere Verhältnis habe/ alsgegen D. 
Archimedis Lrſtes Buch 
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Zum Exempel/ 1/ 5/ 25/ ſind gleichverhaltende Zahlen, wie nicht weniger dieſe/ 1/ 2/ 4 ; Wie 
nun dorten die Verhältnis x gegen 25 gedoppelt genennet tvird in Anſehung der Verhältnis x 
Feqen s ; alſo wird auch hier die Verhältnis 1 gegen 4 gedoppelt genennet in Ansehung der eins 
achen Verhältnis x gegen z. Runwird als geiviß geſetet/ daß! wann die einfache Yerhältnis 
d Mer daſahe Jarzer lla P r Ltr G.(:5; 
und für Augen. Darmitaber klar verde / daß es allezeit und in allen meſſens-fahigen Dingen 
angehe / muß ein allgemeiner Betveiß gegeben tverden. 
Obangezogener David Rivalt de Flurance beruffet ſich in dieſem Fall mit ztvepy Worten 
auf den x 5 den Lehrſas des V. Buchs Encltdis ; aus ivelchemaber dieſes keines tveges folget / es 
ſey dann/ daß er] nicht ohne ſonderbaren Jrethumb/ durchdie gedoppelte Verhältnis ( duplica- 
sam )ebenzineziwepmal - ſogroſſe (duplam) verſtehe/ wie er dannohne Ztveiffel verlichet! t:j