§•1, 2. 
Beweis. Sind g und h die zu vertauschenden Elemente, h 
das höhere derselben, A die Gruppe der Elemente, welche# 
vorangehen, B die Gruppe der Elemente, welche zwischen g 
und h stehen, C die Gruppe der Elemente, welche h nachfolgen; 
ist also die gegebene Permutation 
A g B h C, 
und die zu bildende 
Ah B g C, 
so rührt die gesuchte Aenderung der Anzahl der vorhandenen 
Inversionen von der Stellung her, welche g und h gegen ein 
ander und gegen die in B enthaltenen Elemente einnehmen. 
Die Gruppe B enthalte ß Elemente, von denen ß t höher als 
r/, ß 2 höher als h seien. Dann sind in der Complexion gBh ausser 
den in B vorhandenen Inversionen deren ß—ßi+ßz anzutreffen, 
weil g höher ist als ß—ß t Elemente von B, und ß 2 Elemente von 
B höher sind als h. Anstatt dieser Inversionen kommen in der 
Complexion hBg, welche durch Vertauschung von g und h ab 
geleitet ist, ß—$j-M -i-ßi Inversionen vor, weil h höher ist als 
ß—ß 2 Elemente von ß, ferner h höher als g , und endlich noch 
ß x Elemente von B höher sind als g. Die Differenz dieser An 
zahlen 
/?-&+ ) +ß, - iß-ß x +ß 2 ) = 2/S, - 2&+1 
ist ungerade, w. z. b. w. 
3. Durch Vertauschung von jedesmal 2 Elementen können 
nach und nach alle Permutationen einer gegebenen Complexion 
dargestellt werden*). Die in dieser Reihe der Permutationen 
anzutreffenden Inversionen sind abwechselnd von gerader und 
ungerader Anzahl (2). Da die Anzahl aller Permutationen gerade 
ist, so giebt es ebensoviel Permutationen der ersten Classe, in 
denen eine gerade Anzahl Inversionen vorhanden ist, als Per 
mutationen der zweiten Classe, welche eine ungerade Anzahl 
Inversionen enthalten. Jene lassen sich durch eine gerade, diese 
durch eine ungerade Anzahl Vertauschungen von jedesmal 2 
Elementen aus der gegebenen Complexion ableiten. 
Zwei Permutationen gehören in dieselbe Classe, wenn eine 
aus der andern oder beide aus einer dritten durch eine gerade 
*) Vergl. Gallenkamp Elem. d.Math. 1850 §.110 oder des Verf. Eiern, 
d. Math. 2tes Buch §. 27.